Equazioni in seno e coseno di secondo grado

Un'equazione in seno e coseno di secondo grado si presenta in questa forma $$a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d$$

Come risolvere le equazioni di secondo grado in seno e coseno

Un'equazione in secondo grado posso risolverla usando diverse tecniche a seconda se l'equazione è omogenea oppure no

Tecnica 1 (equazione omogena)

Se l'equazione goniometrica è omogenea (ossia il termine noto è nullo) e il coefficiente a è nullo, l'equazione si riduce a

$$b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$$

A questo punto mi basta mettere in evidenza il coseno

$$\cos x (b \sin x + c \cos x) = 0$$

Poi applico la legge di annullamento del prodotto e verifico in quali condizioni si annulla il primo fattore (cos x) e/o il secondo fattore (b sin x + c cos x).

Nota. La stessa tecnica la posso utilizzare nelle equazioni omogenee in cui il coefficiente c è nullo . $$a \sin^2 x + b \sin x \cos x = 0$$ In questo caso metto in evidenza la funzione seno $$\sin x (a \sin x + b \cos x) = 0$$ e, come nel caso precedente, cerco le soluzioni tramite la legge di annullamento del prodotto.

Tecnica 2 (equazione omogenea)

Per risolvere un'equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno, divido l'equazione per la funzione coseno quadro (cos² x)

$$a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$$

$$\frac{a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{0}{\cos^2 x}$$

$$\frac{a \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{b \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{c \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

$$a \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + b \frac{\sin x \cos x}{\cos x \cos x} + c = 0$$

$$a \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + b \cdot \frac{\sin}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x} + c = 0$$

$$a \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + b \cdot \frac{\sin}{\cos x} + c = 0$$

Poi applico la seconda relazione fondamentale della trigonometria e sostituisco i rapporti sin/cos nella funzione tangente

$$a \tan^2 x + b \cdot \tan x + c = 0$$

Applico il metodo della sostituzione della variabile e sostituisco la funzione tangente con una variabile di comodo y = tan x

$$a y^2 + b \cdot y + c = 0$$

Poi risolvo l'equazione di 2° grado con la classica formula algebrica

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Una volta trovate le soluzioni y₁ e y₂ dell'equazione, se esistono, trovo l'incognita x risolvendo le equazioni goniometriche elementari

$$\tan x = y_1$$

$$\tan x = y_2$$

In questo modo ho ricondotto l'equazione di secondo grado in seno e coseno in un'equazione goniometrica elementare.

Tecnica 3 (equazione non omogenea)

Se l'equazione di 2° non è omogenea, ossia il termine noto d≠0 è diverso da zero

$$a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d$$

posso trasformarla in un'equazione di 2° omogenea equivalente moltiplicando il termine noto per 1

$$a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d \cdot 1$$

Secondo la prima relazione fondamentale della trigonometria sin² x + cos² x = 1

Quindi, nell'equazione posso sostituire 1 con sin² x + cos² x

$$a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x)$$

$$a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x - d \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$

In questo modo ho trasformato l'equazione di 2° grado in un'equazione omogenea equivalente che posso risolvere usando una delle precedenti tecniche (tecnica 1 o tecnica 2).

Un esempio pratico

Esempio 1

Devo risolvere l'equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno

$$\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = 0$$

Essendo nullo il coefficiente del coseno quadro, questa equazione la risolvo con la legge di annullamento del prodotto.

Metto in evidenza la funzione trigonometrica seno.

$$\sin x ( \sin x - \sqrt{3} \cos x ) = 0$$

Poi verifico quando i due fattori sono nulli.

• L'equazione sin x = 0 è una equazione elementare del seno $$\sin x = 0$$ In questo caso la soluzione è molto semplice. L'equazione elementare sin x = 0 è nulla quando x = 0 + kπ. Quindi la prima soluzione dell'equazione di 2° grado è x = 0 + kπ
  

• L'equazione sin x - √3 cos x = 0 è un'equazione goniometrica di 1° grado. Quindi, la posso risolvere usando una delle tecniche di risoluzione delle equazioni goniometriche lineari. $$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$$ Divido per il coseno $$\frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} \frac{\cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$$ $$\tan x - \sqrt{3} = 0$$ $$\tan x = \sqrt{3}$$ L'equazione lineare diventa un'equazione elementare della tangente che è soddisfatta quando x =π/3 + kπ. Quindi la seconda soluzione dell'equazione di 2° è x = π/3 + kπ
  
  

Pertanto, le soluzioni dell'equazione di 2° in seno e coseno sono

$$x = 0 + k \pi \ \ ∨ \ \ \frac{\pi}{3} + k \pi$$

Esempio 2

Devo risolvere l'equazione di 2° grado in seno e coseno

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$$

Si tratta di un'equazione omogenea.

I coefficienti sono non nulli, quindi la risolvo usando il metodo della sostituzione della variabile (tecnica 2).

Divido l'equazione per cos² x

$$\frac{ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x }{\cos^2 x} = \frac{0}{\cos^2 x}$$

$$\frac{ \sin^2 x}{\cos^2 x} + 2 \frac{ \sin x \cos x }{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x }{\cos^2 x} = 0$$

$$\frac{ \sin^2 x}{\cos^2 x} + 2 \frac{ \sin x \cos x }{\cos x \cos x} - 1 = 0$$

$$\frac{ \sin^2 x}{\cos^2 x} + 2 \frac{ \sin x }{ \cos x} - 1 = 0$$

Per la seconda relazione fondamentale della trigonometria il rapporto sin x / cos x = tan x è la funzione tangente

$$\tan^2 x + 2 \tan x - 1 = 0$$

Così facendo ho ottenuto un'equazione equivalente di 2° grado con una sola funzione trigonometrica.

Sostituisco la funzione tangente con una variabile di comodo y=tan x

$$y^2 + 2 y - 1 = 0$$

Poi risolvo l'equazione di 2° grado nella variabile y

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$$

$$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2}$$

$$y = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2}$$

Semplifico dividendo tutto per 2

$$y = \frac{- \frac{2}{2} \pm \frac{ \sqrt{8} }{2} }{ \frac{2}{2}}$$

$$y = \frac{- \frac{2}{2} \pm \frac{ \sqrt{8} }{2} }{ \frac{2}{2}}$$

$$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{ \frac{8}{4} } }{ 1 }$$

$$y = - 1 \pm \sqrt{2}$$

Quindi le soluzioni sono

$$y = \begin{cases} -1 + \sqrt{2} \\ \\ -1 - \sqrt{2} \end{cases}$$

Sapendo che y=tan x allora

$$\tan x = \begin{cases} -1 + \sqrt{2} \\ \\ -1 - \sqrt{2} \end{cases}$$

Ho così ridotto l'equazione di 2° grado a una equazione goniometrica elementare della tangente

A questo punto per trovare l'incognita x calcolo l'arcotangente delle soluzioni

$$\arctan{ \tan x } = \begin{cases} \arctan{ -1 + \sqrt{2} } \\ \\ \arctan{ -1 - \sqrt{2} } \end{cases}$$

$$x = \begin{cases} \arctan{ -1 + \sqrt{2} } \\ \\ \arctan{ -1 - \sqrt{2} } \end{cases}$$

Le soluzioni delle equazioni elementari sono x=π/8+kπ/2 e x=-π/8+kπ/2

$$x = \begin{cases} \frac{\pi}{8} \\ \\ - \frac{\pi}{8} \end{cases}$$

Essendo k un numero intero qualsiasi posso unificare le due soluzioni in una sola soluzione x=π/8+kπ/2 dove k è un intero positivo, nullo o negativo.

Quiindi la soluzione dell'equazione di 2° grado è

$$x = \frac{\pi}{8} + k \frac{\pi}{2}$$

Dal punto di vista grafico

Esempio 3

Devo risolvere l'equazione di 2° grado in seno e coseno

$$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 = 2$$

Si tratta di un'equazione non omogenea.

Quindi, devo prima trasformarla in un'equazione omogenea tramite la tecnica 3.

$$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 = 2$$

La riscrivo in una forma equivalente

$$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 = 2 \cdot 1$$

Secondo la prima relazione fondamentale della trigonometria sin² x + cos² x = 1

Pertanto, posso sostituire 1 con sin² x + cos² x

$$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 = 2 \cdot ( \sin^2 x + \cos^2 x)$$

$$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 - 2 \cdot ( \sin^2 x + \cos^2 x) = 0$$

$$3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 - 2 \sin^2 x - 2 \cos^2 x = 0$$

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$$

In questo modo ottengo un'equazione omogenea di 2° grado equivalente alla precedente.

Posso così risolverla con una tecnica di risoluzione delle equazioni omogenee.

Nota. La continuazione di questo esercizio è uguale all'esercizio 2. Pertanto, evito di riscriverlo.

E così via.