Angoli associati α e π-α
In trigonometria gli angoli associati alfa (α) e π-α mi permettono di usare queste formule di trasformazione. $$ \sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha) $$ $$ \cos(\pi-\alpha) = - \cos(\alpha) $$ $$ - \tan(\pi-\alpha) = \tan(\alpha) $$ $$ - \cot(\pi-\alpha) = \cot(\alpha) $$
Essendo angoli associati gli angoli α e π-α hanno lo stesso valore assoluto delle funzioni trigonometriche, seno, coseno, tangente e cotangente.
Dimostrazione e spiegazione
Considero un angolo α e l'angolo π-α su una circonferenza goniometrica.
Gli angoli α e π-α sono angoli supplementari perché la loro somma è uguale a 180° (π).
$$ \alpha + (\pi - \alpha) = \pi $$
Pertanto, i due triangoli rettangolo OAB e OCD sono congruenti (uguali) perché hanno la stessa ipotenusa (OA=OC) e lo stesso angolo acuto (α) e ovviamente anche un angolo retto (90°).
I due triangoli OAB E OCD hanno gli stessi angoli e le stesse lunghezze.
Pertanto, i due angoli supplementari α e π-α hanno lo stesso valore del seno (AB=CD).
$$ \sin \alpha = \sin (\pi - \alpha) $$
Dal punto di vista grafico.
I due angoli α e π-α hanno lo stesso valore assoluto del coseno (OB=OD).
In questo caso il valore del coseno è opposto, perché OD si trova sulle ascisse negative mentre OB sulle ascisse positive.
$$ \cos \alpha = - \cos (\pi - \alpha) $$
Moltiplicando per -1 entrambi i membri dell'equazione
$$ -(1) \cdot \cos \alpha = (-1) \cdot (- \cos (\pi - \alpha)) $$
$$ - \cos \alpha = \cos (\pi - \alpha) $$
Dal punto di vista grafico
Pertanto, il coseno degli angoli associati α e π-α ha valore opposto.
Una volta note le formule di trasformazione del seno e del coseno, posso calcolare indirettamente anche quelle della tangente e della cotangente.
La tangente è il rapporto tra il seno e il coseno.
$$ \tan ( \pi - \alpha ) = \frac{ \sin (\pi - \alpha) }{ \cos (\pi - \alpha) } $$
Sapendo che sin(π-α) = sin(α) e cos(π-α) = -cos(α)
$$ \tan ( \pi - \alpha ) = \frac{ \sin (\pi - \alpha) }{ \cos (\pi - \alpha) } = \frac{ \sin \alpha }{ - \cos \alpha } = - tan \alpha $$
Quindi, la tangente dell'angolo π-α è uguale a meno tangente di α.
La cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.
$$ \cot ( \pi - \alpha ) = \frac{ \cos (\pi - \alpha) }{ \sin (\pi - \alpha) } $$
Sapendo che sin(π-α) = sin(α) e cos(π-α) = -cos(α)
$$ \cot ( \pi - \alpha ) = \frac{ \cos (\pi - \alpha) }{ \sin (\pi - \alpha) } = \frac{ - \cos \alpha }{ \sin \alpha } = - cot \alpha $$
Pertanto, la cotangente dell'angolo π-α è uguale a meno cotangente di α.
In conclusione, la tangente e la cotangente degli angoli associati α e π-α hanno un valore opposto.
Un esempio pratico
Devo calcolare il seno di 150°
$$ \sin 150° $$
Riscrivo i gradi come differenza di 180° - 30°
$$ \sin 150° = \sin (180° - 30°) $$
che in radianti diventa
$$ \sin 150° = \sin ( \pi - \frac{\pi}{6} ) $$
Gli angoli π-α e α sono angoli associati dove α=π/6 (ossia 30°)
$$ \sin( \pi - \alpha ) = \sin(\alpha) $$
Quindi, il seno di 150° è uguale al seno di 30°
$$ \sin 150° = \sin( \pi - \frac{\pi}{6} ) = - \sin( \frac{\pi}{6} ) $$
Sapendo che il seno di 30° è 1/2, anche il seno di 150° è 1/2.
$$ \sin 150° = \sin( \pi - \frac{\pi}{6} ) = - \sin( \frac{\pi}{6} ) = \frac{1}{2} $$
$$ \sin 150° = \frac{1}{2} $$
E così via.
