Il confronto di angoli
Uno dei metodi classici usati per confrontare l'ampiezza di due angoli è il metodo per sovrapponibilità.
- Devo confrontare due angoli α e β per stabilire se sono congruenti o meno
- Sovrappongo il vertice O del primo angolo (α) al vertice O' del secondo angolo (β) per traslazione
- Poi sovrappongo un lato del primo angolo (α) al lato del secondo angolo (β) per rotazione
- Se anche gli altri due lati sono sovrapposti, i due angoli sono angoli congruenti α≅β ossia hanno la stessa ampiezza misurata in gradi o radianti.
Viceversa, se gli altri due lati non si sovrappongono, i due angoli non sono congruenti. In questo caso uno dei due angoli è maggiore e l'altro è minore. Un angolo è minore se è contenuto nella regione angolare dell'altro angolo. In caso contrario, è maggiore. Ad esempio, considero altri due angoli α e β e li sovrappongo tra loro usando la stessa procedura già vista nei punti precedenti.
In quest'ultimo esempio l'angolo α (blu) è interamente compreso nella regione angolare dell'angolo β (rosso). Quindi, l'angolo α ha un'ampiezza inferiore all'angolo β. Pertanto, posso affermare che l'angolo α è minore di β ovvero l'angolo β è maggiore di α.
La differenza tra angoli congruenti e angoli uguali
Più propriamente, quando due angoli sono sovrapponibili in geometria si parla "angoli congruenti" e non di "angoli uguali", perché l'uguaglianza implica che gli angoli condividano gli stessi punti del piano e questo non accade sempre.
La congruenza, invece, non implica che due oggetti geometrici condividano gli stessi punti dello spazio.
Ad esempio, due angoli α e β possono avere la stessa ampiezza in gradi o radianti (es. 90°) ma trovarsi in posizioni diverse dello spazio. Pertanto, non sono angoli uguali ma congruenti α≅β.
Questo implica che due angoli uguali sono anche angoli congruenti ma non è detto il contrario.
Nota. Gli angoli congruenti corrispondono a una isometria perché sono sovrapponibili dopo un movimento rigido.
Altri metodi per confrontare gli angoli
Per confrontare due angoli in geometria, ci sono anche altri metodi
- Misurazione diretta
Allineo il centro del goniometro con il vertice dell'angolo (O) e la linea di base del goniometro con un lato dell'angolo. Questo mi permette di leggere direttamente la misura dell'ampiezza dell'angolo sull'arco del goniometro. Ad esempio, l'angolo α ha un'ampiezza pari a 60°.
Ripeto la stessa operazione su un altro angolo β. In questo modo posso confrontare l'ampiezza dei due angoli α e β sulla base delle loro misure dirette in gradi o radianti. - Calcoli matematici
Se conosco i vettori che formano i lati degli angoli, posso usare le formule della trigonometria per calcolare la misura dell'angolo. Ad esempio, l'angolo tra due vettori può essere calcolato utilizzando il prodotto scalare. Una volta calcolate le misure, posso confrontarle e stabilire se due angoli sono congruenti o meno.
In entrambi i casi, posso stabilire se due angoli sono congruenti oppure se uno è minore/maggiore dell'altro.
E così via.
