Il prodotto scalare tra vettori

Cos'è il prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori è un numero (scalare) ottenuto moltiplicando il modulo di uno dei due vettori per il modulo della proiezione su questo vettore dell'altro vettore. $$ \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = | \vec{v_1} | \cdot | \vec{v_2} | \cdot \cos \theta $$ Dove θ è l'ampiezza dell'angolo tra i due vettori.

Il prodotto scalare è anche detto prodotto interno.

E' indicato con la notazione <v1,v2>, (v1,v2) oppure v1• v2

Attenzione. Il prodotto scalare di due vettori <v1,v2> è una grandezza scalare ossia un numero. Non è una grandezza vettoriale e non va confuso con il prodotto di un vettore per uno scalare k. Sono due operazioni algebriche differenti.

A cosa serve?

Il prodotto scalare ha alcune proprietà geometriche molto utili.

  • il prodotto scalare di due vettori è nullo quando i vettori sono vettori ortogonali, ossia perpendicolari tra loro, formando un angolo di 90°.

    una proprietà del prodotto scalare
    Questo accade perché il coseno di ±90° è zero. Quindi, il prodotto scalare nullo è una condizione necessaria di ortogonalità tra due o più vettori.

      Nota. Non è una condizione sufficiente di ortogonalità perché il prodotto scalare è nullo <v1,v2>=0 anche se uno dei due vettori è un vettore nullo o entrambi sono vettori nulli.

      Da questo emergono altre osservazioni utili.

    • Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale a zero <v,v>=0 solo se il vettore v è un vettore nullo. $$ <\vec{v},\vec{v}> = 0 \ \Leftrightarrow \vec{v} = \{ ø \} $$
    • Se il vettore v non è nullo allora il prodotto scalare con se stesso è uguale al quadrato del suo modulo. $$ <\vec{v},\vec{v}> = |\vec{v}|^2 \ \Leftrightarrow \ \vec{v} \ne \{ ø \} $$
  • il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli dei due vettori quando i vettori sono vettori paralleli o coincidenti, ossia hanno in comune la stessa direzione.
    il caso dei vettori paralleli
    In questo caso il vettore proiettato sull'altro ha lo stesso modulo perché il coseno di un angolo nullo θ=0 è uguale a uno (cos 0° = 1). Quindi il prodotto scalare <v1,v2>coincide col prodotto dei moduli dei vettori |v1|·|v2|
  • Il prodotto scalare di un vettore per se stesso mi permette di calcolare la lunghezza (modulo o norma) del vettore
  • Il prodotto scalare di due vettori mi permette di calcolare l'angolo tra i due vettori.

Le proprietà del prodotto scalare in sintesi. Le principali proprietà del prodotto scalare tra vettori da tenere sempre a mente.
le proprietà del prodotto scalare
A questa tabella aggiungo per completezza un caso banale. Anche il prodotto scalare con un vettore nullo è pari a zero, perché il vettore nullo ha modulo uguale a zero. Quindi il prodotto scalare pari a zero è una condizione necessaria ma non sufficiente di ortogonalità dei vettori.

Un esempio pratico

Ho due vettori nello spazio a due dimensioni R2

$$ \vec{ v_1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ \vec{ v_2 } = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Ecco la rappresentazione grafica dei vettori

due vettori nello spazio

I due vettori formano un angolo di ampiezza θ = 30,96°.

Per calcolare il prodotto scalare

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} $$

Ora proietto il secondo vettore v2 sul primo v1 con un angolo di 90°.

In questo modo ottengo un nuovo vettore di modulo |v2|·cos θ nella stessa direzione del vettore v1.

la proiezione del vettore v2 su v1

A questo punto moltiplico i due moduli tra loro e ottengo il prodotto scalare dei due vettori.

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = |\vec{v_1}| \cdot ( | \vec{v_2}| \cdot \cos \theta) $$

In questo caso i moduli (lunghezze) dei due vettori sono |v1|=4,12 e |v2|=2,83.

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = 4,12 \cdot ( 2,83 \cdot \cos \theta) $$

L'angolo tra i due vettori è θ = 30,96°

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = 4,12 \cdot ( 2,83 \cdot \cos 30,96°) $$

Sapendo che il coseno di 30,96° è 0,86

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = 4,12 \cdot ( 2,83 \cdot 0,86 ) $$

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = 4,12 \cdot ( 2,43 ) $$

Nota. Il prodotto 2,83·cos(30,96°) è il modulo del vettore rosso, quello che ho proiettato sul vettore v1 con modulo (lunghezza) pari a |v2|·cos θ.
la proiezione del vettore v2 su v1

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = 4,12 \cdot 2,43 $$

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = 10 $$

Quindi, il prodotto scalare dei due vettori v1 e v2 è uguale a 10.

Nota. Il prodotto scalare è commutativo. Quindi, se proiettando il primo vettore v1 sul secondo vettore v2, si ottiene lo stesso risultato <v2,v1>=<v1,v2>=10.
la proiezione del secondo vettore sul primo

Metodo di calcolo alternativo più veloce

Per calcolare il prodotto scalare di due vettori posso anche usare il metodo del prodotto scalare euclideo.

$$ < \vec{ v_1} , \vec{v_2} > = v_{1x} \cdot v_{2x} + v_{1y} \cdot v_{2y} + v_{1z} \cdot v_{2z} $$

Ha il vantaggio d'essere molto più facile e rapido.

Basta moltiplicare le componenti dei vettori tra loro e sommarle.

 

come calcolare il prodotto scalare euclideo

 

Dove 4·2 sono le componenti x dei vettori v1 e v2 mentre 1·2 sono le componenti y dei vettori v1 e v2

Il risultato è sempre lo stesso.

Le proprietà del prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori appartenenti allo stesso spazio vettoriale V nel campo K=R è una funzione simmetrica e bilineare che associa alla coppia di vettori v1,v2 un elemento del campo K.

$$ <·,·> \:\: := \:\: VxV \:\: \rightarrow \:\: R $$

La funzione del prodotto scalare risponde alle seguenti proprietà:

le proprietà del prodotto scalare

Il prodotto scalare euclideo

Esistono diverse funzioni in grado di definire il prodotto scalare tra due vettori. La funzione più nota è il prodotto scalare euclideo. $$ <v_1 , v_2 > = v_{1x} \cdot v_{2x} + v_{1y} \cdot v_{2y} + v_{1z} \cdot v_{2z} $$

Un esempio pratico di prodotto scalare euclideo

Dati due vettori v1 e v2 appartenenti allo spazio vettoriale V=R3 nel campo K=R

$$ v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ v_2 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Il prodotto scalare euclideo dei due vettori è il seguente:

$$ < v_1 , v_2 > = ( 2·3 ) + ( (-1)·(-1) ) + ( 1·0 ) $$

$$ < v_1 , v_2 > = 6+1+0 $$

$$ < v_1 , v_2 > = 7 $$

Nota. Il prodotto scalare è non degenere. Infatti, se <w,v>=0 per qualsiasi vettore w di V, allora il vettore v deve essere necessariamente nullo ossia v=0.

 

La dimostrazione

Parto dal prodotto scalare di due vettori<a,b>

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} $$

Un vettore è uguale alla somma delle sue componenti x, y, z

$$ \vec{a} = a_x \vec{u_x} + a_y \vec{u_y} + a_z \vec{u_z} $$

$$ \vec{b} = b_x \vec{u_x} + b_y \vec{u_y} + b_z \vec{u_z} $$

Quindi, posso riscrivere il prodotto scalare in questa forma equivalente

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = ( a_x \vec{u_x} + a_y \vec{u_y} + a_z \vec{u_z} ) \cdot ( b_x \vec{u_x} + b_y \vec{u_y} + b_z \vec{u_z} ) = $$

Per la proprietà distributiva rispetto alla somma

$$ a_x \vec{u_x} b_x \vec{u_x} + a_x \vec{u_x} b_y \vec{u_y} + a_x \vec{u_x} b_z \vec{u_z} + $$

$$ a_y \vec{u_y} b_x \vec{u_x} + a_y \vec{u_y} b_y \vec{u_y} + a_y \vec{u_y} b_z \vec{u_z} + $$

$$ a_z \vec{u_z} b_x \vec{u_x} + a_z \vec{u_z} b_y \vec{u_y} + a_z \vec{u_z} b_z \vec{u_z} = $$

Sapendo che il prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo

Nota.$$ \vec{u_x} \cdot \vec{u_y} = \vec{u_y} \cdot \vec{u_x} = 0 $$ $$ \vec{u_x} \cdot \vec{u_z} = \vec{u_z} \cdot \vec{u_x} = 0 $$ $$ \vec{u_y} \cdot \vec{u_z} = \vec{u_z} \cdot \vec{u_y} = 0 $$

Molti termini si annullano

la dimostrazione

La somma si riduce a tre termini

$$ a_x \vec{u_x} b_x \vec{u_x} + a_y \vec{u_y} b_y \vec{u_y} + a_z \vec{u_z} b_z \vec{u_z} = $$

che posso scrivere in questa forma equivalente

$$ a_x b_x \vec{u_x} \vec{u_x} + a_y b_y \vec{u_y} \vec{u_y} + a_z b_z \vec{u_z} \vec{u_z} = $$

Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al prodotto dei moduli, perché il coseno di un angolo nullo è uguale a 1.

Nota. $$ v \cdot v = |v||v| \cos 0 = |v|^2 $$

Sapendo che il modulo dei versori è uno, i prodotti scalari uxux=1, uyuy=1, uzuz=1.

$$ a_x b_x \cdot ( \vec{u_x} \vec{u_x} ) + a_y b_y \cdot ( \vec{u_y} \vec{u_y} ) + a_z b_z \cdot ( \vec{u_z} \vec{u_z} ) = $$

$$ a_x b_x \cdot (1 ) + a_y b_y \cdot ( 1 ) + a_z b_z \cdot ( 1 ) = $$

$$ a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

Questo dimostra che il prodotto scalare tra due vettori è uguale alla somma del prodotto delle sue componenti sugli assi x,y,z.

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} =a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

La norma indotta dal prodotto scalare

Tra il prodotto scalare dei vettori e la norma (modulo) c'è una stretta relazione.

La norma di un vettore qualsiasi è uguale alla radice del prodotto scalare del vettore con se stesso.

formula della norma indotta dal prodotto scalare

Questa norma è detta norma indotta dal prodotto scalare.

Nota. La norma indica la lunghezza del vettore ed è anche conosciuta come modulo del vettore.

Esempio

Dato un vettori v1 appartenente allo spazio vettoriale V=R3 nel campo K=R

$$ v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

La norma indotta dei due vettori è la seguente:

$$ || v_1 || = < v_1 , v_1 > = \sqrt { <v_1 , v_1 > } $$

$$ || v_1 || = < v_1 , v_1 > = \sqrt { ( 2·2 ) + ( (-1)·(-1) ) + ( 1·1 ) } $$

$$ || v_1 || = < v_1 , v_1 > = \sqrt { 4+1+1 } $$

$$ || v_1 || = < v_1 , v_1 > = \sqrt { 6 } $$

Il teorema della diseguaglianza di Cauchy-Schwarz

Secondo il teorema di Cauchy-Schwarz

Il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori <v1,v2> è minore o uguale al prodotto tra la norma indotta del prodotto scalare ||v1||·|| v2|| dei due vettori.

la formula della diseguaglianza di Cauchy-Schwarz

In caso di uguaglianza i due vettori v1, v2 sono linearmente dipendenti.

vettori linearmente dipendenti

Un esempio pratico

Dati due vettori v1 e v2 appartenenti allo spazio vettoriale V=R3 nel campo K=R

$$ v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ v_2 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Il valore assoluto del prodotto scalare <v1,v2> è il seguente:

$$ |< v_1 , v_2 >| = | 7 | = 7 $$

La norma indotta dei due vettori

$$ || v_1 || = \sqrt { (2*2)+(-1*-1)+(1*1) } = \sqrt {6} $$

$$ || v_2 || = \sqrt { (3*3)+(-1*-1)+(0*0) } = \sqrt {10} $$

Secondo il teorema di Cauchy-Schwarz

$$ |< v_1 , v_2 >| \le || v_1 || · || v_2 || $$

$$ 7 \le \sqrt {6} · \sqrt {10} $$

$$ 7 \le 7.7459 $$

Quindi, secondo il teorema, i due vettori non sono linearmente dipendenti tra loro.

Esempio 2

Ora provo a vedere cosa succede con due vettori linearmente dipendenti

$$ v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ v_2 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Nota. Il determinante dei due vettori è uguale a zero. Quindi i due vettori sono linearmente dipendenti tra loro.

Il valore assoluto del prodotto scalare <v1,v2> è il seguente:

$$ |< v_1 , v_2 >| = | (-1·1)+(1·-1) | = 2 $$

La norma indotta dei due vettori

$$ || v_1 || = \sqrt { (-1*-1)+(1*1) } = \sqrt {2} $$

$$ || v_2 || = \sqrt { (1*1)+(-1*-1) } = \sqrt {2} $$

Secondo il teorema di Cauchy-Schwarz

$$ |< v_1 , v_2 >| \le || v_1 || · || v_2 || $$

$$ 2 \le \sqrt {2} · \sqrt {2} $$

$$ 2 = 2 $$

In questo caso sono uguali perché i due vettori sono linearmente dipendenti.

Il risultato conferma il teorema di Cauchy-Schwarz.

Osservazioni

Alcune osservazioni utili o interessanti sul prodotto scalare tra vettori

  • A differenza del prodotto tra numeri reali, il prodotto scalare tra vettori può essere uguale a zero anche se entrambi i vettori non sono sono nulli. Ad esempio, se i vettori sono perpendicolari il coseno di 90° è uguale a zero. In questo caso i due vettori non sono nulli ma il loro prodotto scalare è uguale a zero.
  • Se due vettori hanno la stessa direzione e verso, il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli dei due vettori.
  • Se due vettori hanno la stessa direzione ma verso opposto, il prodotto scalare è uguale all'opposto del prodotto dei moduli dei due vettori.

Come calcolare il prodotto scalare online

Questo strumento consente di calcolare il prodotto scalare di due vettori online.

 


 

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Prodotto scalare