I vettori ( matematica )

Cos'è un vettore

Un vettore è un ente matematico caratterizzato da un'intensità (detta modulo), una direzione e un verso.

L'origine del vettore è detto punto di applicazione mentre la freccia è detto estremo.

un esempio di vettore

Il segmento indica la direzione mentre la freccia indica il verso del vettore.

La lunghezza della freccia è detta modulo.

A cosa servono i vettori?

In fisica alcune grandezze sono caratterizzate dall'intensità, dalla direzione e dal verso.

Ad esempio, lo spostamento nello spazio, la velocità, la forza, l'accelerazione, ecc.

un esempio di vettore

Queste grandezze sono dette grandezze vettoriali e sono rappresentate dai vettori.

i vettori sono caratterizzati da una direzione, un verso e un modulo

Per rappresentare un vettore disegno un segmento orientato da una freccia.

  • La freccia indica il verso del vettore.
  • La lunghezza della freccia (modulo) indica l'intensità. E' un numero (scalare).
  • La retta in cui si trova la freccia indica la direzione del vettore.

La differenza tra vettore e modulo. Il vettore non va confuso con il suo modulo. E' un errore comune ma grave. Il vettore indica la lunghezza, la direzione e il verso. E' una grandezza vettoriale. Il modulo del vettore, invece, è una grandezza scalare, ossia un numero, che indica soltanto la lunghezza del vettore. Ad esempio, questi due vettori hanno lo stesso modulo (lunghezza) ma sono vettori diversi perché cambia la direzione e il verso.
la differenza tra modulo e vettore
In genere il modulo si indica con lo stesso simbolo del vettore senza freccia o ponendo il simbolo del vettore tra due barre verticali. Il vettore è, invece, indicato con una freccia sopra la lettera oppure con una lettera in grassetto.

Il concetto di vettore in matematica è più ampio ma il concetto resta lo stesso.

Le operazioni tra i vettori

Nei vettori si possono fare due operazioni

In entrambi i casi il risultato delle operazioni è un altro vettore.

Cos'è un vettore?

Inizio a spiegare i vettori sul piano perché sono i più semplici da capire.

In uno spazio a due dimensioni ( piano x,y ) un vettore è un segmento orientato al quale è assegnato un modulo ( intensità o lunghezza ), una direzione e un verso.

Posso rappresentare un vettore sul piano in questo modo.

un esempio di vettore

Esempio. In questo piano ho disegnato un segmento di lunghezza 3 ( modulo ) dal punto A (4,6) al punto B ( 10,6 ). Poi ho fissato un verso da A a B. In questo modo ho creato un vettore.

In matematica e in fisica per indicare un vettore si usano le lettere dei punti di origine e di destinazione con una freccia al di sopra

$$ \overrightarrow{AB} $$

oppure semplicemente

$$ AB $$

La differenza tra vettore libero e applicato

Il vettore applicato

Un vettore applicato è un vettore di cui conosco l'origine ( punto di applicazione ).

Dato un punto P e il punto O (origine) del piano, il vettore applicato in O con vertice P è la coppia di punti OP. Si indica con una freccia sopra le lettere $$ \overrightarrow{OP} $$ oppure con una lettera minuscola (v, u, w, ecc. )

Ecco un esempio pratico di vettore in O con vertice P sul piano.

un esempio pratico di vettore applicato

L'insieme di tutti i vettori applicati in un punto di origine O si indica con il simbolo

$$ V^2(O) $$

Ecco un esempio pratico dell'insieme dei vettori applicati nel punto di origine O.

l'insieme dei vettori applicati in un punto di origine O

L'origine del vettore può anche essere diversa dall'origine O del piano.

Ad esempio, il segmento orientato AB è un vettore applicato al punto A.

http://www.andreaminini.org/data/andreamininiorg/vettore-geometrico-libero.gif

Il vettore libero

Un vettore libero è un vettore di cui non considero l'origine.

L'insieme di tutti i vettori liberi del piano si indica con la lettera V.

$$ V $$

Nota. In genere, un vettore libero rappresenta l'insieme di tutti i vettori di una classe di equipollenza. E' il rappresentante della classe di equipollenza.

La definizione di vettore in matematica

Un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. Nello spazio vettoriale reale un vettore una n-pla ordinata di n numeri reali ( x1, ... , xn ).

la definizione di vettore

I numeri reali del vettore sono detti elementi del vettore.

Un esempio pratico

Ecco alcuni esempi di vettori composti da due elementi (n=2) nel campo dei numeri reali.

alcuni vettori di esempio

L'insieme di tutti i vettori con due elementi forma lo spazio vettoriale R2 = RxR dei numeri reali.

Lo spazio R2 coincide con tutti i punti del piano cartesiano.

la rappresentazione del prodotto cartesiano

In effetti, ogni coppia di numeri reali ( x1, x2 ) è associata a uno e un solo punto ( x, y ) del piano cartesiano.

La somma dei vettori

Dati due vettori numerici composti da n elementi

due vettori numerici

La somma dei vettori è un vettore di n elementi in cui ciascun elemento zn è la somma numerica dei rispettivi elementi xn+yn

la somma di due vettori

Il prodotto del vettore per uno scalare

Dato un vettore v di n elementi e un numero reale scalare α qualsiasi, il prodotto tra il vettore e lo scalare è un vettore in cui ciascun elemento xn è moltiplicato per lo scalare α.

il prodotto di uno scalare per un vettore

La rappresentazione dei vettori

Nello spazio a due dimensioni i vettori sono rappresentabili sul piano cartesiano.

Due vettori geometrici OE1 e OE2 sono vettori linearmente indipendenti se giacciono su diverse rette passanti per l'origine.

un esempio di rappresentazione dei vettori nello spazio cartesiano

Due vettori indipendenti formano una base dello spazio vettoriale V2O perché la loro combinazione lineare può generare tutti i vettori liberi dello spazio vettoriale a due dimensioni V2.

$$ B = \{ OE_1 , OE_2 \} $$

Ogni punto P del piano è associato a un vettore numerico v(x,y) che identifica le coordinate Cv(x,y) del vettore OP rispetto alla base { OE1, OE2 }.

$$ OP = a_1 \cdot OE1 + a_2 \cdot OE2 $$

D'altra parte vale anche l'inverso, ogni vettore v(x,y) è associato a un punto P del piano tramite la combinazione lineare.

Un esempio pratico

Utilizzo come base vettoriale B i vettori v1=(1,0) e v2(0,1) ossia OE1 e OE2.

$$ B = \{ v_1 , v_2 \} \\ v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Oltre a essere linearmente dipendenti, v1 e v2 sono anche perpendicolari tra loro (vettori ortogonali) e facilitano la rappresentazione grafica.

i vettori della base vettoriale

Ora voglio rappresentare il punto P del grafico.

il punto P del piano

Come ogni punto del piano anche il punto P è associato a un vettore passante per l'origine (O).

In questo caso si tratta del vettore geometrico OP.

il vettore P

Il vettore OP è lineramente dipendente dai vettori della base { OE1, OE2 } perché può essere rappresentato tramite la loro combinazione lineare.

In pratica, esistono due scalari c1 e c2 detti coordinate tali che:

$$ \overrightarrow{OP} = c_1 OE_1 + c_2OE_2$$

$$ \overrightarrow{OP} = c_1 \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{OP} = 2 \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{OP} = \begin {pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin {pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{OP} = \begin {pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

In questo caso la soluzione è molto semplice.

Le coordinate sono c1=2 e c2=3, ossia tre volte il vettore OE1 e due volte il vettore OE2.

la rappresentazione del vettore come combinazione lineare dei vettori della base

La corrispondenza tra il punto P e il vettore OP è indicata con la seguente relazione di equivalenza:

$$ \overrightarrow{OP} \equiv P \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Allo stesso modo posso rappresentare qualsiasi altro punto del piano cartesiano RxR ossia R2.

Nota. La corrispondenza tra punti e vettori è molto utile, perché consente di studiare le proprietà geometriche dei punti e dei vettori tramite l'algebra lineare.

I vettori nello spazio a più dimensioni

Un vettore può essere definito anche nello spazio a più dimensioni.

Vettore nello spazio a due dimensioni

Un vettore nello spazio a due dimensioni (R2) è composto dalla differenza tra i punti di origine e di destinazione del piano.

$$ V \{ x_2-x_1, y_2-y_1 \} $$

Esempio

un esempio di vettore sul piano
$$ V \{ x_2-x_1, y_2-y_1 \} $$ $$ V \{ 12-6, 6-4 \} $$ $$ V \{ 6, 2 \} $$

Vettore nello spazio a tre dimensioni

In uno spazio a tre dimensioni (R3) la rappresentazione algebrica è simile, ma c'è un'altra coordinata (z) da considerare

$$ V \{ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \} $$

Per semplicità negli elementi di un vettore si indica direttamente la differenza ( o accelerazione ).

$$ V \{ x, y, z \} $$

dove

$$ x=x_2-x_1 $$ $$ y=y_2-y_1 $$ $$ z=z_2-z_1 $$

Questa forma è particolarmente utile per studiare i vettori con dimensione superiore.

Un esempio pratico

un esempio di vettore sul piano a 3 dimensioni (x,y,z)
$$ V \{ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \} $$ $$ con A=(3,3,3) , B=(7,5,2) $$ $$ V \{ 7-3, 5-3, 2-3 \} $$ $$ V \{ 4, 2, -1 \} $$

Vettore nello spazio a n dimensioni

Il discorso è simile per i vettori negli spazi a n dimensioni (Rn).

$$ V \{ x_1, x_2, x_2, ... , x_n \} $$

In questo caso però qualsiasi rappresentazione geometrica sarebbe incomprensibile per un essere umano.

Perché? Come persone siamo abituati a vedere il mondo in 3 dimensioni. Al massimo possiamo considerare la quarta dimensione come il tempo che scorre. Una quinta o sesta dimensione è difficile da immaginare come forma geometrica. E' un limite dell'uomo. Per rappresentare le realtà più complesse siamo costretti a semplificarle o usare altri metodi di rappresentazione.

Per questa ragione si preferisce rappresentare i vettori a n dimensioni come una n-pla ordinata di n elementi.

$$ V \{ x_1, x_2, x_2, ... , x_n \} $$

Dove gli elementi x1, ... , xn sono numeri reali qualsiasi.

Esempio

$$ V \{ 4, 2, -1, 7 , 3 \} $$

I vettori a più dimensioni sono oggetto di studio dell'algebra lineare.


 
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