Come convertire gradi e radianti
Le formule per convertire da gradi a radianti e viceversa sono $$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{180°}{ \pi } $$ $$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$
Un esempio pratico
Un angolo ha un'ampiezza di 60°
$$ \alpha = 60° $$
L'equivalente misura dell'angolo in radianti è 1/3 π
$$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$
$$ \alpha_{rad} = 60° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$
$$ \alpha_{rad} = \frac{ 1 }{ 3 } \pi $$
Esempio 2
Un angolo ha un'ampiezza di 2/3 π radianti
$$ \alpha = \frac{2}{3} \pi \ rad $$
L'equivalente misura dell'angolo in gradi è 120°
$$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{180°}{ \pi } $$
$$ \alpha ° = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{180°}{ \pi } $$
$$ \alpha ° = \frac{2}{3} \cdot 180° $$
$$ \alpha ° = 120° $$
La dimostrazione
Per dimostrare le formule di conversione da gradi a radianti e viceversa, basta considerare che un angolo in gradi sta in un angolo in radianti come l'angolo giro 360° sta 2 pi greco radianti.
$$ \alpha ° \ : \ \alpha_{rad} = 360° \ : \ 2 \pi $$
ossia
$$ \frac{ \alpha ° }{ \alpha_{rad} } = \frac{ 360° }{ 2 \pi } $$
Semplifico
$$ \frac{ \alpha ° }{ \alpha_{rad} } = \frac{ 180° }{ \pi } $$
Metto in evidenza l'angolo in gradi e ottengo la prima formula
$$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{ 180° }{ \pi } $$
Metto in evidenza l'angolo in radianti e ottengo la seconda formula
$$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$
E così via
