Bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è una semiretta che ha origine nel vertice e divide l'angolo dato in due angoli congruenti, ossia di uguale ampiezza.

Ad esempio, considero un angolo di 60°

La bisettrice di quest'angolo è una semiretta che ha origine dal vertice e divide a metà l'angolo in due angoli di ampiezza pari a 30°

Osservazioni

Alcune osservazioni sulla bisettrice

• Per ogni angolo esiste una e una sola bisettrice.
• Due angoli opposti al vertice hanno la stessa retta come bisettrice.
• I punti sulla bisettrice sono equidistanti dai lati dell'angolo
  La bisettrice di un angolo è un luogo geometrico perché un qualsiasi punto della bisettrice ha la stessa distanza dai lati dell'angolo.

  Dimostrazione. Considero un punto P qualsiasi della bisettrice r dell'angolo. Essendo la bisettrice gli angoli α≅α' sono congruenti. Traccio un segmento OP che unisce il vertice dell'angolo con il punto P sulla bisettrice e due segmenti perpendicolari ai lati dell'angolo AP e BP che hanno come estremo il punto P. Da queste premesse deduco che i triangoli sono congruenti OAP≡OBP per il secondo criterio di congruenza dei triangoli perché hanno due angoli congruenti e un lato congruente (OP). Essendo due triangoli congruenti, hanno tutti i lati congruenti. Quindi anche i lati AP≡BP sono congruenti. Questo dimostra che un qualsiasi punto P della bisettrice è equidistante dai lati dell'angolo.
  
  Dimostrazione inversa. In questo caso devo dimostrare che un qualsiasi punto P equidistante dai lati dell'angolo è un punto della bisettrice. Per ipotesi iniziale, considero un punto P equidistante dai lati dell'angolo AP≡BP e una bisettrice r. La distanza di un punto da un segmento è la lunghezza del segmento perpendicolare al segmento che ha per estremo il punto P. Quindi, la distanza AP è perpendicolare rispetto al lato "a" mentre la distanza BP è perpendicolare rispetto al lato "b". I triangoli rettangolo OAP≡OBP sono congruenti per i criteri di congruenza dei triangolo rettangolo, perché i cateti AP≡BP e l'ipotenusa OP sono congruenti. Essendo congruenti, i due triangoli hanno tutti i lati e gli angoli congruenti. In particolar modo mi interessa sapere che gli angoli α≡α' dei triangoli OAP e OBP sono congruenti, perché questo vuol dire che l'ipotenusa OP e anche il punto P appartengono alla bisettrice r dell'angolo. Pertanto, se un punto P è equidistante dai lati di un angolo, allora è un punto della bisettrice r dell'angolo.

E così via.