Quantità di moto

Cos'è la quantità di moto

La quantità di moto è il prodotto tra la massa (m) e la velocità (v) di un corpo $$ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $$

Si tratta di una grandezza vettoriale perché il prodotto tra un vettore (velocità) e un numero scalare (massa).

A differenza della sola velocità, la quantità di moto considera anche la massa di un corpo in movimento.

A cosa serve?

La quantità di moto mi fornisce informazioni utili per calcolare la forza necessaria per fermare un oggetto in movimento in un'unità di tempo.

Per fermare un corpo in movimento, devo ridurre la sua quantità di moto a zero. Più grande è la quantità di moto iniziale, più forza serve a parità di tempo.

$$ \vec{F} = \vec{p} = m \cdot \vec{v} $$

Ad esempio, il guard rail ai bordi di una strada deve essere in grado di rallentare e fermare il moto di un'automobile che sbanda e va fuori strada.

La quantità di moto dà anche un’idea dell’impatto che un corpo in movimento può avere,cioè degli effetti che può produrre quando interagisce con altri oggetti.

Ad esempio, una palla da bowling, anche se lenta, abbatte facilmente molti birilli grazie alla sua massa elevata e quindi all’elevata quantità di moto. Al contrario, una pallina da ping-pong, pur viaggiando a grande velocità, non riesce a spostarli perché la sua massa ridotta le conferisce una quantità di moto molto bassa.

L'unità di misura della quantità di moto. Per calcolare l'unità di misura della quantità di moto utilizzo l'analisi dimensionale della formula. $$ \vec{p} = m \cdot \vec{v} = [M] \cdot [V] = [M] \cdot \frac{[L]}{[T]} $$ L'unità di misura della massa [M] è il kg, quella delle lunghezze [L] è il metro, quella del tempo [T] è il secondo. Quindi, l'unità di misura della quantità di moto è kg·m·s^-1. $$ \vec{p} = [M] \cdot \frac{[L]}{[T]} = kg \cdot \frac{m}{s} = kg \cdot m \cdot s^{-1} $$ E' anche indicata come newton secondo, sapendo che N = kg m s^-2. $$ \vec{p} = [M] \cdot \frac{[L]}{[T]} = kg \cdot \frac{m}{s} = ( kg \cdot m \cdot s^{-2} ) \cdot s = Ns $$ E' la stessa unità di misura dell'impulso di una forza

Un esempio pratico

Esempio 1

Un’auto ha una massa di $m = 1000 \,\text{kg}$ e si muove a una velocità di $v = 20 \,\text{m/s}$ (72 km/h).

La quantità di moto dell'automobile è pari a 20mila kg per m/s

$$ p = m v = 1000 \cdot 20 = 20{,}000 \,\text{kg·m/s} $$

Per fermarla devo annullare questa quantità di moto. La forza necessaria dipende dal tempo di arresto $ \Delta t $.

$$ F = \frac{\Delta p}{\Delta t}  $$

Ad esempio, se la fermo in $\Delta t = 5 \,\text{s}$ devo applicare una forza pari a 4000 N per 5 secondi.

$$ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{20{,}000}{5} = 4 {,} 000 \,\text{N} $$

Se invece voglio fermarla in un tempo brevissimi, $ \Delta t = 0,1 $ la forza necessaria è molto più grande.

$$ F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{20{,}000}{0,1} = 2000{,}000 \,\text{N} $$

Ecco perché un urto violento in un tempo brevissimo produce forze enormi e danni gravi, mentre rallentando gradualmente con una frenata lunga, urto risulta meno dannoso, poiché la forza si distribuisce su un intervallo di tempo maggiore.

Esempio 2

Una palla da bowling ha una massa di $m_b = 7 \,\text{kg}$ e si muove lentamente, ha una velocità media di $v_b = 2 \,\text{m/s}$.

La quantità di moto della palla è circa 14 kg per metro al secondo.

$$ p_b = m_b \cdot v_b = 7 \cdot 2 = 14 \,\text{kg·m/s} $$

Quindi, anche se va piano, la palla da bowling ha una elevata quantità di moto e quando colpisce i birilli li sposta facilmente.

Una pallina da ping-pong ha una massa di soli $m_p = 0.0027 \,\text{kg}$ ma si muove molto velocemente, ha una velocità media di $v_p = 20 \,\text{m/s}$.

La quantità di moto della pallina da ping-pong è di 0,054 kg per m/s.

$$ p_p = m_p \cdot v_p = 0.0027 \cdot 20 \approx 0.054 \,\text{kg·m/s} $$

In conclusione, anche se viaggia rapidissima, la palla da ping-pong ha pochissima quantità di moto e quando tocca un birillo non lo muove quasi per niente.

Questo esempio chiarisce l’importanza della quantità di moto: per valutare l’effetto di un corpo in movimento durante un urto o un’interazione, non conta solo la sua velocità, ma anche la sua massa.

La massa costante o variabile

Nella maggior parte dei problemi di meccanica classica la massa di un corpo si considera costante. In questo caso la quantità di moto si calcola semplicemente come:

$$ \vec{p} = m \vec{v} $$

Dove la massa $m$ è fissata e indipendente dal tempo.

Tuttavia, in alcune situazioni la massa non è costante.

Esempio. Un esempio concreto è un razzo che espelle combustibile: durante il moto la sua massa diminuisce perché il propellente viene espulso.

In questo caso devo applicare la legge fondamentale della dinamica in forma più generale:

$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) $$

Dove la massa varia è un valore variabile nel tempo.

$$ \vec{F} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \vec{v}\,\frac{dm}{dt} $$

Questa espressione mostra chiaramente che la variazione di massa influisce sul moto del corpo tanto quanto l’accelerazione.

Esempio. Un caso banale ma intuitivo è quello di un’automobile: all’inizio del viaggio ha il serbatoio pieno, mentre alla fine il serbatoio è quasi vuoto. La massa del veicolo è quindi leggermente inferiore. In pratica la differenza è modesta, ma il principio resta valido. Nei problemi reali dove la massa varia in modo significativo (razzi, getti di fluido, sabbia che cade da un contenitore, ecc.) la quantità di moto va trattata con questa forma più generale.

Inoltre, per velocità prossime alla luce devo considerare la massa relativistica, perché secondo la teoria della relatività ristretta di Einstein, la massa di un corpo varia quando si muove molto velocemente.

La relatività e la massa

Quando la velocità di un corpo diventa paragonabile a quella della luce, la meccanica classica non è più valida.

Secondo la teoria della relatività ristretta di Einstein, la massa a riposo $m_0$ rimane costante, ma la quantità di moto assume una nuova forma:

$$ \vec{p} = \gamma m_0 \vec{v} \qquad\text{con}\qquad  \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Questo significa che, a velocità ordinarie, $\gamma \approx 1$ e la formula relativistica si riduce a quella classica.

Quando invece la velocità si avvicina a quella della luce ($v \to c$), il fattore $\gamma$ cresce senza limiti e la quantità di moto aumenta di conseguenza. Questo spiega perché nessun corpo dotato di massa a riposo può raggiungere la velocità della luce.

Nota. In passato si usava il concetto di massa relativistica $ m_{\text{rel}} = \gamma m_0 $ per descrivere l’aumento della quantità di moto alle alte velocità. Oggi si preferisce mantenere costante la massa a riposo $m_0$ del corpo e attribuire l’aumento di $\vec{p}$ unicamente al fattore relativistico $\gamma$.

La relazione tra la quantità di moto e la forza

La forza applicata a un punto è uguale alla derivata della quantità di moto rispetto al tempo. $$ \vec{F} = \frac{d \ \vec{p}}{dt} $$

In questo modo, se conosco la quantità di moto posso risalire alla forza necessaria per arrestare o rallentare il moto.

La formula v=dp/dt è un altro modo di scrivere la legge di Newton F=mv.

Dimostrazione

Considero la massa costante.

$$ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $$

In base alla seconda legge di Newton la forza è uguale alla massa per l'accelerazione

$$ \vec{F} = m \cdot \vec{a} $$

Sapendo che l'accelerazione a=dv/dt è la derivata prima della velocità rispetto al tempo

$$ \vec{F} = m \cdot \frac{\vec{v}}{dt} $$

$$ \vec{F} = \frac{m \cdot \vec{v}}{dt} $$

Sapendo che mdv/dt = dp/dt

$$ \vec{F} = \frac{d \ \vec{p}}{dt} $$

Spiegazione. La derivata della quantità di moto rispetto al tempo è $$ D[ \vec{p} ] = D[ m \cdot \vec{v} ] $$ Poiché la massa (m) è costante $$ D[ \vec{p} ] = D[ m \cdot \vec{v} ] = m \cdot D[ \vec{v} ] $$

E così via.