I gruppi
- Un gruppo è una struttura algebrica (S,*) composta da un insieme non vuoto S≠Ø e da un'operazione binaria interna * che soddisfa :
- la proprietà associativa $$ (a*b)*c=a*(b*c) \ \ \ \forall \ a,b,c \ \in S $$
- l'esistenza di un elemento neutro $$ a*n=n*a=a \ \ \ \forall \ a \ \in S $$
- l'esistenza dell'elemento inverso per ogni elemento di S $$ a*a'=a'*a=n \ \ \ \forall \ a \ \in S $$
I gruppi si distinguono in abeliani e non abeliani.
Gruppo abeliano
Un gruppo è detto gruppo abeliano se rispetta anche la proprietà commutativa.
$$ (a*b)*c=a*(b*c) $$ $$ a*n=n*a=a $$ $$ a*a'=a'*a=n $$
Esempio
L'insieme dei numeri razionali Q è un gruppo abeliano rispetto alla somma (Q,+).
Dati tre numeri interi (a,b,c) vale la proprietà associativa
$$ (a+b)+c=a+(b+c) $$
L'elemento neutro è il numero zero
$$ a+0 = 0+a = a $$
L'elemento inverso è l'opposto del numero.
$$ a + (-a) = (-a)+a= 0 $$
Poiché rispetta anche la proprietà commutativa è un gruppo abeliano.
$$ a + b = b+a $$
Nota. L'insieme dei numeri razionali senza lo zero è un gruppo abeliano anche rispetto al prodotto (Q,*). In questo caso l'elemento neutro è il numero 1 e l'elemento inverso è il reciproco 1/a del numero.
Gruppo non abeliano
Un gruppo è detto gruppo non abeliano se non rispetta la proprietà commutativa.
I principali gruppi non abeliani sono i gruppi simmetrici e diedrali.
Esempio
Il prodotto tra due matrici non rispetta la proprietà commutativa.
Pertanto, il gruppo di matrici rispetto alla moltiplicazione (M,*) è un gruppo non abeliano.
$$ A \cdot B \ne B \cdot A $$
Questo perché il prodotto si ottiene riga per prodotto.
Nota. Il gruppo di matrici (M,+) è invece un gruppo abeliano rispetto all'addizione. Nella somma di due matrici non è importante l'ordine delle matrici.
La tavola moltiplicativa
Se un gruppo è composto da un numero finito di elementi, non troppo grande, posso rappresentarlo tramite una tavola.
A ogni riga e colonna è assegnato un elemento del gruppo finito.
| a | b | ... | z | |
|---|---|---|---|---|
| a | a*a | a*b | ... | a*z |
| b | b*a | b*b | ... | b*z |
| ... | ||||
| z | z*a | z*b | ... | z*z |
Le celle individuano il risultato dell'operazione binaria.
Esempio di gruppo
Un gruppo S è composto dagli elementi { 0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'operazione di addizione + modulo 8.
Cos'è l'addizione modulo 8? E' un'operazione binaria della aritmetica dell'orologio. In un'addizione modulare otto, ogni risultato superiore a otto è uguale al modulo ossia al resto. Ad esempio, 5+2=7, 6+2=0, 7+2=1, ecc.
La tavola di composizione del gruppo (S,+8) è
| a+b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 | 6 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7 | 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
E' un gruppo perché l'operazione binaria è associativa.
$$ 1+(2+3) = (1+2)+3=6 $$
Esiste un elemento neutro ( 0 ).
$$ 1+0=1 \\ 2+0=2 \\ \vdots $$
Ogni elemento ha un inverso.
$$ 1+7=0 \\ 2+6=0 \\ 3+5=0 \\ 4+4=0 \\ 5+3=0 \\ 6+2=0 \\ 7+1 =0 $$
Ordine del gruppo
L'ordine di un gruppo finito è la sua cardinalità ossia il numero degli elementi del gruppo. $$ | G| $$
Esempio
Nel gruppo S { 0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'operazione di addizione + modulo 8 l'ordine del gruppo è 8.
$$ |S| = 8 $$
Il gruppo ha otto elementi.
Ordine di un elemento del gruppo
L'ordine o periodo di un elemento g del gruppo (G,*) è un numero intero positivo h tale che l'operazione * compiuta h volte sull'elemento g dà come risultato l'elemento neutro n del gruppo $$ g^h = n $$
Se non esiste un intero h, l'elemento g ha un periodo infinito.
Se esiste un intero h, l'elemento g ha un periodo finito n e il sottogruppo <g> generato da g è uguale a
$$ <g> = \{ e, g, g^1, g^2, ... , g^{n-1} \} $$
In questo caso, dati due numeri interi h e z con h≠z si ha sempre
$$ g^h \equiv g^z \mod n $$
Esempio
Nel gruppo S { 0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'operazione di addizione + modulo 8 l'ordine degli elementi è il seguente:
| Classe | Ordine | Esempio |
|---|---|---|
| Classe 0 | 1 | 01=0 |
| Classe 1 | 8 | 18=0 |
| Classe 2 | 4 | 24=2+2+2+2=0 |
| Classe 3 | 8 | 38=3+3+3+3+3+3+3+3=0 |
| Classe 4 | 2 | 42=4+4=0 |
| Classe 5 | 8 | 58=5+5+5+5+5+5+5+5=0 |
| Classe 6 | 4 | 64=6+6+6+6=0 |
| Classe 7 | 8 | 78=7+7+7+7+7+7+7+7=0 |
L'ordine di un elemento g è uguale alla cardinalità del sottogruppo <g> generato dall'elemento.
Esempio. La classe 2 ha un ordine pari a 4. Il sottogruppo <2> generato da 2 è uguale a $$ <2>=\{ 2, 4, 6, 0 \} $$ Il sottogruppo <2> ha 4 elementi. Quindi, la cardinalità del sottogruppo generato da 2 è uguale all'ordine di 2 ossia 4.
La potenza nei gruppi
Nei gruppi la potenza è strettamente legata all'operazione * del gruppo. Non va confusa con la potenza della matematica tradizionale.
La potenza n-esima di un elemento del gruppo è la ripetizione dell'operazione * per n volte.
Esempio
Se scrivo g4 vuol dire
$$ g^4 = g*g*g*g $$
Nota. Il risultato dipende dall'operazione * del gruppo. Ad esempio, se * è l'addizione + g4 = g+g+g+g. Se * è il prodotto, allora g4 = g*g*g*g.
Se scrivo g-4 si intende
$$ g^-4 = g^{-1}*g^{-1}*g^{-1}*g^{-1} $$
Infine, per definizione la potenza con esponente zero è uguale all'elemento neutro del gruppo.
$$ g^0 = e $$
Nota. Se il gruppo è (G,+) rispetto all'addizione, g0=0. Se il gruppo é (G,*) rispetto al prodotto, allora g0=1.
Gruppo ciclico
Un gruppo è detto ciclico se esiste un elemento g di G tale che $$ G = <g> $$
In pratica, il sottogruppo <g> generato dall'elemento g è uguale all'insieme stesso.
$$ G <g|g^k> $$
Un esempio pratico
Riprendo l'esempio dell'aritmetica modulare otto rispetto all'addizione.
$$ G = ( \{0,1,2,3,4,5,6,7 \},+ ) $$
Si tratta di un gruppo ciclico perché l'elemento 1 è un generatore, il sottogruppo <1> è uguale all'insieme G.
$$ <g> = <1> = \{1^1,1^2,1^3,1^4,1^5,1^6,1^7,1^8 \} $$
$$ <g> = <1> = \{1,2,3,4,5,6,7,0 \} = G $$
$$ <g> = G $$
Quindi il gruppo G è un gruppo ciclico di ordine 8.
Le proprietà dei gruppi ciclici
I gruppi ciclici hanno le seguenti proprietà
- Sono gruppi abeliani
- Ogni sottogruppo è ciclico
C'è anche un'altra particolare proprietà da ricordare
- Se G è un gruppo ciclico <g|gn=e> di ordine n, allora
- l'ordine di ogni suo sottogruppo è divisore di n
- per ogni divisore k di n esiste un solo suo sottogruppo di ordine k
Il sottogruppo ciclico infinito
Un sottogruppo ciclico <g> è infinito se l'elemento g ha ordine/periodo infinito.
In questo caso, dati due numeri interi h e z con h≠z si ha
$$ g^h \ne g^z $$
E così via.
