I gruppi

    Un gruppo in matematica discreta è una struttura algebrica (S,*) caratterizzata da:

  • Una operazione binaria associativa $$ (a*b)*c=a*(b*c) $$
  • un elemento neutro $$ a*n=a $$
  • un elemento inverso $$ a*a'=n $$

I gruppi si distinguono in abeliani e non abeliani.

Gruppo abeliano

Un gruppo è detto gruppo abeliano se rispetta anche la proprietà commutativa.

$$ (a*b)*c=a*(b*c) $$ $$ a*n=n*a=a $$ $$ a*a'=a'*a=n $$

Esempio

L'insieme dei numeri razionali Q è un gruppo abeliano rispetto alla somma (Q,+).

Dati tre numeri interi (a,b,c) vale la proprietà associativa

$$ (a+b)+c=a+(b+c) $$

L'elemento neutro è il numero zero

$$ a+0 = 0+a = a $$

L'elemento inverso è l'opposto del numero.

$$ a + (-a) = (-a)+a= 0 $$

Poiché rispetta anche la proprietà commutativa è un gruppo abeliano.

$$ a + b = b+a $$

Nota. L'insieme dei numeri razionali senza lo zero è un gruppo abeliano anche rispetto al prodotto (Q,*). In questo caso l'elemento neutro è il numero 1 e l'elemento inverso è il reciproco 1/a del numero.

Gruppo non abeliano

Un gruppo è detto gruppo non abeliano se non rispetta la proprietà commutativa.

I principali gruppi non abeliani sono i gruppi simmetrici e diedrali.

Esempio

Il prodotto tra due matrici non rispetta la proprietà commutativa.

Pertanto, il gruppo di matrici rispetto alla moltiplicazione (M,*) è un gruppo non abeliano.

$$ A \cdot B \ne B \cdot A $$

Questo perché il prodotto si ottiene riga per prodotto.

il prodotto riga per colonna di due matrici

Nota. Il gruppo di matrici (M,+) è invece un gruppo abeliano rispetto all'addizione. Nella somma di due matrici non è importante l'ordine delle matrici.
la somma di due matrici

La tavola moltiplicativa

Se un gruppo è composto da un numero finito di elementi, non troppo grande, posso rappresentarlo tramite una tavola.

A ogni riga e colonna è assegnato un elemento del gruppo finito.

a b ... z
a a*a a*b ... a*z
b b*a b*b ... b*z
...
z z*a z*b ... z*z

Le celle individuano il risultato dell'operazione binaria.

Esempio di gruppo

Un gruppo S è composto dagli elementi { 0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'operazione di addizione + modulo 8.

Cos'è l'addizione modulo 8? E' un'operazione binaria della aritmetica dell'orologio. In un'addizione modulare otto, ogni risultato superiore a otto è uguale al modulo ossia al resto. Ad esempio, 5+2=7, 6+2=0, 7+2=1, ecc.

La tavola di composizione del gruppo (S,+8) è

a+b 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 0
2 2 3 4 5 6 7 0 1
3 3 4 5 6 7 0 1 2
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 6 7 0 1 2 3 4
6 6 7 0 1 2 3 4 5
7 7 0 1 2 3 4 5 6

E' un gruppo perché l'operazione binaria è associativa.

$$ 1+(2+3) = (1+2)+3=6 $$

Esiste un elemento neutro ( 0 ).

$$ 1+0=1 \\ 2+0=2 \\ \vdots $$

Ogni elemento ha un inverso.

$$ 1+7=0 \\ 2+6=0 \\ 3+5=0 \\ 4+4=0 \\ 5+3=0 \\ 6+2=0 \\ 7+1 =0 $$

Ordine del gruppo

L'ordine di un gruppo finito è la sua cardinalità ossia il numero degli elementi del gruppo. $$ | G| $$

Esempio

Nel gruppo S { 0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'operazione di addizione + modulo 8 l'ordine del gruppo è 8.

$$ |S| = 8 $$

Il gruppo ha otto elementi.

Ordine di un elemento del gruppo

L'ordine o periodo di un elemento g del gruppo (G,*) è un numero intero positivo h tale che l'operazione * compiuta h volte sull'elemento g dà come risultato l'elemento neutro n del gruppo $$ g^h = n $$

Se non esiste un intero h, l'elemento g ha un periodo infinito.

Se esiste un intero h, l'elemento g ha un periodo finito n e il sottogruppo <g> generato da g è uguale a

$$ <g> = \{ e, g, g^1, g^2, ... , g^{n-1} \} $$

In questo caso, dati due numeri interi h e z con h≠z si ha sempre

$$ g^h \equiv g^z \mod n $$

Esempio

Nel gruppo S { 0,1,2,3,4,5,6,7} rispetto all'operazione di addizione + modulo 8 l'ordine degli elementi è il seguente:

Classe Ordine Esempio
Classe 0 1 01=0
Classe 1 8 18=0
Classe 2 4 24=2+2+2+2=0
Classe 3 8 38=3+3+3+3+3+3+3+3=0
Classe 4 2 42=4+4=0
Classe 5 8 58=5+5+5+5+5+5+5+5=0
Classe 6 4 64=6+6+6+6=0
Classe 7 8 78=7+7+7+7+7+7+7+7=0

L'ordine di un elemento g è uguale alla cardinalità del sottogruppo <g> generato dall'elemento.

Esempio. La classe 2 ha un ordine pari a 4. Il sottogruppo <2> generato da 2 è uguale a $$ <2>=\{ 2, 4, 6, 0 \} $$ Il sottogruppo <2> ha 4 elementi. Quindi, la cardinalità del sottogruppo generato da 2 è uguale all'ordine di 2 ossia 4.

La potenza nei gruppi

Nei gruppi la potenza è strettamente legata all'operazione * del gruppo. Non va confusa con la potenza della matematica tradizionale.

La potenza n-esima di un elemento del gruppo è la ripetizione dell'operazione * per n volte.

Esempio

Se scrivo g4 vuol dire

$$ g^4 = g*g*g*g $$

Nota. Il risultato dipende dall'operazione * del gruppo. Ad esempio, se * è l'addizione + g4 = g+g+g+g. Se * è il prodotto, allora g4 = g*g*g*g.

Se scrivo g-4 si intende

$$ g^-4 = g^{-1}*g^{-1}*g^{-1}*g^{-1} $$

Infine, per definizione la potenza con esponente zero è uguale all'elemento neutro del gruppo.

$$ g^0 = e $$

Nota. Se il gruppo è (G,+) rispetto all'addizione, g0=0. Se il gruppo é (G,*) rispetto al prodotto, allora g0=1.

Gruppo ciclico

Un gruppo è detto ciclico se esiste un elemento g di G tale che $$ G = <g> $$

In pratica, il sottogruppo <g> generato dall'elemento g è uguale all'insieme stesso.

$$ G <g|g^k> $$

Un esempio pratico

Riprendo l'esempio dell'aritmetica modulare otto rispetto all'addizione.

$$ G = ( \{0,1,2,3,4,5,6,7 \},+ ) $$

Si tratta di un gruppo ciclico perché l'elemento 1 è un generatore, il sottogruppo <1> è uguale all'insieme G.

$$ <g> = <1> = \{1^1,1^2,1^3,1^4,1^5,1^6,1^7,1^8 \} $$

$$ <g> = <1> = \{1,2,3,4,5,6,7,0 \} = G $$

$$ <g> = G $$

Quindi il gruppo G è un gruppo ciclico di ordine 8.

Le proprietà dei gruppi ciclici

I gruppi ciclici hanno le seguenti proprietà

  • Sono gruppi abeliani
  • Ogni sottogruppo è ciclico

C'è anche un'altra particolare proprietà da ricordare

    Se G è un gruppo ciclico <g|gn=e> di ordine n, allora
  • l'ordine di ogni suo sottogruppo è divisore di n
  • per ogni divisore k di n esiste un solo suo sottogruppo di ordine k

Il sottogruppo ciclico infinito

Un sottogruppo ciclico <g> è infinito se l'elemento g ha ordine/periodo infinito.

In questo caso, dati due numeri interi h e z con h≠z si ha

$$ g^h \ne g^z $$

E così via.

 


 

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