Angoli associati α e π/2-α
In trigonometria gli angoli associati alfa (α) e π/2-α mi permettono di usare queste formule di trasformazione. $$ \sin( \frac{ \pi }{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $$ $$ \cos( \frac{ \pi }{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $$ $$ \tan( \frac{ \pi }{2} - \alpha) = \cot(\alpha) $$ $$ \cot( \frac{ \pi }{2} - \alpha) = \tan(\alpha) $$
Gli angoli α e π/2-α sono angoli associati, quindi hanno lo stesso valore assoluto nelle funzioni trigonometriche, seno, coseno, tangente e cotangente.
Dimostrazione e spiegazione
Considero un angolo α e l'angolo π/2-α su una circonferenza goniometrica.
Gli angoli α e π/2-α sono angoli complementari perché la loro somma è uguale a 90° (π/2) ossia a un angolo retto.
$$ \alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \frac{\pi}{2} $$
Costruisco due rettangoli rettangolo OAB e OCD nella circonferenza trigonometrica.
Di entrambi i triangoli conosco due angoli.
Sapendo che la somma degli angoli di un triangolo è π (180°) calcolo l'angolo mancante dei triangoli.
Nota. Il primo triangolo OAB ha un angolo acuto α e un angolo retto π/2 (90°) quindi il restante angolo è π/2-α perché la somma degli angoli di un triangolo è 180° (π). Il secondo triangolo OCD ha un angolo π/2-α e un angolo retto π/2 (90°) quindi il restante angolo acuto è α perché la somma degli angoli di un triangolo è 180° (π).
I due triangoli OAB e OCD sono congruenti (uguali) perché hanno gli angoli e la stessa ipotenusa.
Quindi i lati dei triangoli hanno le stesse lunghezze.
Il segmento OB (coseno di α) è uguale al segmento CD (seno di π/2-α).
Pertanto, il seno di π/2-α è uguale al coseno di α.
$$ \sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \cos \alpha $$
Il segmento AB (seno di α) è uguale al segmento OD (coseno di π/2-α).
Pertanto, il coseno di π/2-α è uguale al seno di α.
$$ \cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \sin \alpha $$
Una volta note le formule di trasformazione del seno e del coseno, ottengo indirettamente anche le formule della tangente e della cotangente.
La tangente è il rapporto tra il seno e il coseno.
$$ \tan ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) }{ \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) } $$
Sapendo che sin(π/2-α) = cos(α) e cos(π/2-α) = sin(α)
$$ \tan ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \sin \frac{\pi}{2} - \alpha) }{ \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) } = \frac{ \cos \alpha }{ \sin \alpha } = \cot \alpha $$
Quindi, la tangente dell'angolo π/2-α è uguale alla cotangente di α.
La cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.
$$ \cot ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) }{ \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) } $$
Sapendo che sin(π/2-α) = cos(α) e cos(π/2-α) = sin(α)
$$ \cot ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) }{ \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) } = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } = \tan \alpha $$
Pertanto, la cotangente dell'angolo π/2-α è uguale alla tangente di α.
Un esempio pratico
Devo calcolare il seno di 30°
$$ \sin 30° $$
Riscrivo i gradi come differenza di 90° - 60°
$$ \sin (90° - 60°) $$
che in radianti diventa
$$ \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} ) $$
Gli angoli π/2-α e α sono angoli associati dove α=π/3 (ossia 60°)
$$ \sin( \frac{\pi }{2} - \alpha ) = \cos(\alpha) $$
$$ \sin( \frac{\pi }{2} - \frac{\pi}{3} ) = \cos( \frac{\pi}{3} ) $$
Quindi, il seno di 30° è uguale al valore del coseno di 60°
Sapendo che il coseno di 60° è 1/2.
$$ \sin( \frac{\pi }{2} - \frac{\pi}{3} ) = \cos( \frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2} $$
Pertanto, il seno di 30° è -1/2
$$ \sin 30° = \frac{1}{2} $$
E così via.
