Angolo aggiunto in trigonometria

In trigonometria l'angolo aggiunto è un angolo che mi permette di scrivere una funzione $$ y=a \sin x + b \cos x $$ in una funzione sinusoidale equivalente $$ y = r \cdot \sin (x+k) $$

Dove k è l'angolo aggiunto ed è pari all'arcotangente del rapporto tra i coefficienti b/a.

$$ k = \arctan \frac{b}{a} $$

Mentre r è l'ampiezza della sinusoide ed è la radice della somma dei quadrati dei coefficienti a²+b²

$$ r = \sqrt{a^2+b^2} $$

Pertanto, una funzione sin(x)+cos(x) posso scriverla in una forma equivalente come una sinusoide tramite una traslazione orizzontale k e una dilatazione/contrazione verticale r.

$$ y=a \sin x + b \cos x = r \cdot \sin (x+k) $$

Considerando le formule per ottenere r e k la formula di trasformazione completa è la seguente

$$ y=a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin (x+\arctan \frac{b}{a}) $$

Attenzione. Nella formula di trasformazione devo usare gli stessi segni dei coefficienti a e b nella funzione iniziale. Ad esempio, se la funzione iniziale è $$ y= \sin x - \cos x $$ I coefficienti a e b sono $$ a=1$$ $$ b=-1 $$

Un esempio pratico

Prendo in considerazione questa funzione dove a=2 e b=3

$$ y=2 \sin x - 3 \cos x $$

Il grafico della funzione è il seguente

Devo trasformarla nella forma equivalente

$$ y = r \sin (x+k) $$

L'angolo aggiunto k è l'arcotangente del rapporto b/a

$$ k = \arctan \frac{b}{a} = \arctan \frac{-3}{2} = - 0,98 \ rad \ (circa \ -56,3°) $$

L'ampiezza r è la radice quadrata della somma dei quadrati a²+b²

$$ r = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} $$

Pertanto nella forma equivalente la funzione è

$$ y = \sqrt{13} \cdot \sin (x + (-0,98 \ rad )) $$

$$ y = \sqrt{13} \cdot \sin (x - 0,98 \ rad) $$

Si ottiene con una dilatazione di √13 e una traslazione di -0,98 radianti (circa -56,3°).

Il grafico della funzione sinusoidale appena ottenuta è uguale al grafico iniziale.

La dimostrazione

La formula che voglio dimostrare è una funzione sinusoidale

$$ y = r \sin (x+k) $$

Applico la formula dell'addizione del seno.

$$ y = r \cdot [ \sin x \cos k + \sin k \cos x ] $$

$$ y = r \sin x \cos k + r \sin k \cos x $$

Assegno i due addendi alle variabili a e b

$$ a = r \cos k $$

$$ b = r \sin k $$

In questo modo ho scritto la funzione nella forma equivalente

$$ y = a \sin x + b \cos x $$

Per avere questa forma equivalente i coefficienti a e b devono soddisfare questo sistema

$$ \begin{cases} a = r \cos k \\ \\ b = r \sin k \end{cases} $$

Elevo al quadrato i membri delle equazioni

$$ \begin{cases} a^2 = r^2 \cos^2 k \\ \\ b^2 = r^2 \sin^2 k \end{cases} $$

Sommo le due equazioni membro a membro

$$ a^2 + b^2 = r^2 \cos^2 k + r^2 \sin^2 k $$

$$ a^2 + b^2 = r^2 ( \cos^2 k + \sin^2 k ) $$

Secondo la prima relazione fondamentale della trigonometria la somma del coseno quadro e del seno quadro è uguale a uno ossia cos²+sin²=1

Quindi semplifico l'equazione

$$ a^2 + b^2 = r^2 $$

A questo punto applico la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione

$$ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{r^2} $$

$$ \sqrt{a^2 + b^2} = r $$

Ho così trovato il valore del coefficiente r ossia l'ampiezza della sinusoide.

Per trovare l'angolo k torno al sistema di equazioni.

$$ \begin{cases} a = r \cos k \\ \\ b = r \sin k \end{cases} $$

Poi divido membro a mebro le due equazioni

$$ \frac{b}{a} = \frac{r \sin k}{r \cos k} $$

$$ \frac{b}{a} = \frac{\sin k}{\cos k} $$

$$ \frac{b}{a} = \tan k $$

Applico l'arcotangente a entrambi i membri dell'equazione

$$ \arctan \frac{b}{a} = \arctan \tan k $$

$$ \arctan \frac{b}{a} = k $$

Ho così trovato anche l'angolo aggiunto k della sinusoide.

$$ k = \arctan \frac{b}{a} $$

E così via.