Sinusoide
Cos'è una sinusoide
Una sinusoide è un segnale periodico che la forma a onda della funzione trigonometrica seno.
La funzione seno ha il dominio nell'insieme dei numeri reali e il codominio nell'intervallo [-1;1].
$$ \sin x \ : \ R \rightarrow [-1;1] $$
Si tratta di una funzione periodica e il periodo della funzione è 2π.
Dove 2π è un giro completo della circonferenza goniometrica ossia un angolo giro (360°).
Pertanto, il dominio della funzione seno può essere studiato per riduzione nel dominio [0, 2π].
La differenza tra sinusoide e cosinusoide. La sinusoide è traslata di π/2 radianti rispetto alla cosinusoide. Dal punto di vista pratico la scelta tra la sinusoide e la cosinusoide è indifferente perché la forma è sempre la stessa, ciò che cambia è la fase ossia la posizione iniziale del segnale nel momento iniziale. Nel caso del seno y=sin(0)=0 mentre nel caso del coseno y=cos(0)=1.
La sinusoide come segnale nel tempo
Nel tempo la sinusoide è un segnale periodico caratterizzato da un'ampiezza e un periodo.
- Ampiezza
L'ampiezza misura la differenza massima tra il valore più alto e più basso del segnale sull'asse delle ordinate. - Periodo
Il periodo è il tempo necessario per far compiere al segnale lo stesso percorso. Dopo T secondi il segnale torna allo stesso valore e l'onda sinusoidale si ripete nel tempo.
Il periodo è strettamente legato alla frequenza del segnale.
La frequenza di un segnale sinusoidale è l'inverso del periodo. $$ f = \frac{1}{T} $$
La frequenza misura il numero di periodi ripetuti dall'onda sinusoidale in un determinato intervallo di tempo.
Ad esempio 3 giri in un secondo.
La frequenza si misura in Hertz (Hz).
Esempio. Quando scrivo 50 Hz indico 50 oscillazioni in un secondo compiute dal segnale sinusoidali, ossia 50 ripetizioni del periodo in un secondo.
La funzione sinusoidale
Una generica funzione sinusoidale si presenta in questo modo $$ y(t) = A \cdot \sin \omega t $$
- A è l'ampiezza della sinusoide
- t è il tempo
- ω è la frequenza angolare in radianti secondi
La frequenza angolare (o pulsazione) è determinata dal periodo T della sinusoide.
$$ \omega = \frac{2 \pi}{T} $$
In modo equivalente considerando f=1/T posso anche scrivere
$$ \omega = 2 \pi f $$
Quanti più periodi (T) compie la sinusoide in un secondo, tanto maggiore è la sua frequenza angolare (omega) in rad/s.
Nota. Il denominatore 2π equivale a dire 360° ossia un giro completo dell'angolo nella circonferenza di un cerchio.
L'argomento della sinusoide ωt è uguale a 2π se t=1.
$$ \omega t = 2 \pi $$
In questi due grafici la relazione ωt=2π è evidente.
Un segnale con frequenza angolare maggiore compie un maggior numero di pulsazioni in un secondo.
Ad esempio, il segnale rosso compie ω=2 pulsazioni in un secondo mentre il segnale blu ne compie ω=4.
Questo accade perché il segnale blu ha una velocità angolare maggiore del segnale rosso (ω*>ω).
In questo caso specifico il segnale blu ha esattamente il doppio della velocità angolare del segnale rosso (ω*=2ω).
Essendo una funzione periodica, una sinusoide si ripete esattamente nel tempo.
$$ y(t) = y(t+T) $$
Ad esempio, nell'istante t1 e nell'istante t1+T la funzione sinusoidale assume lo stesso valore y(t1)=y(t1+T)=-A.
Lo stesso vale per ogni multiplo di T ossia y(t1)=y(t1+kT)=-A dove k=1,2,3,... e via dicendo
Perché studiare le sinusoidi
Le variazioni sinusoidali sono molto importanti perché si verificano spontaneamente in molti fenomeni naturali e sociali.
Ad esempio, l'oscillazione di un pendolo, la vibrazione di una corda ma anche fluttuazioni del ciclo economico.
In fisica la sinusoide è usata per spiegare il moto circolare.
E' usata anche nelle telecomunicazioni poiché, grazie all'analisi di Fourier, qualsiasi segnale periodico complesso può essere scomposto in una somma di sinusoidi.
Anche la corrente elettrica alternata distribuita nelle case si presenta con una forma sinusoidale.
E così via.
