Angoli associati α e 2π-α

In trigonometria gli angoli associati alfa (α) e 2π-α mi permettono di usare queste formule di trasformazione. $$ \sin(2 \pi-\alpha) = - \sin(\alpha) $$ $$ \cos(2 \pi-\alpha) = \cos(\alpha) $$ $$ - \tan(2 \pi-\alpha) = \tan(\alpha) $$ $$ - \cot(2 \pi-\alpha) = \cot(\alpha) $$

Essendo angoli associati gli angoli α e 2π-α hanno lo stesso valore assoluto delle funzioni trigonometriche, seno, coseno, tangente e cotangente.

Dimostrazione e spiegazione

Considero un angolo α e l'angolo 2π-α su una circonferenza goniometrica.

Gli angoli α e π-α sono angoli esplementari perché la loro somma è uguale a 360° (2π) ossia a un angolo giro.

I valori del seno (y') e del coseno (x') dell'angolo π-α (blu) sono uguali a quelli dell'angolo orientato -α (verde).

Pertanto, questo caso posso dimostrarlo usando la stessa dimostrazione degli angoli opposti α e -α a cui rimando per ogni approfondimento.

Le formule di trasformazione degli angoli associati α e π-α e degli angoli associati α e -α sono le stesse.

Un esempio pratico

Devo calcolare il seno di 330°

$$ \sin 330° $$

Riscrivo i gradi come differenza di 360° - 30°

$$ \sin 330° = \sin (360° - 30°) $$

che in radianti diventa

$$ \sin 330° = \sin ( 2 \pi - \frac{\pi}{6} ) $$

Gli angoli 2π-α e α sono angoli associati dove α=π/6 (ossia 30°)

$$ \sin( 2 \pi - \alpha ) = - \sin(\alpha) $$

Quindi, il seno di 330° è uguale al valore opposto del seno di 30°

$$ \sin 330° = \sin( 2 \pi - \frac{\pi}{6} ) = - \sin( \frac{\pi}{6} ) $$

Sapendo che il seno di 30° è 1/2, il seno di 330° è -1/2.

$$ \sin 330° = \sin( 2 \pi - \frac{\pi}{6} ) = - \sin( \frac{\pi}{6} ) = - \frac{1}{2} $$

$$ \sin 330° = - \frac{1}{2} $$

E così via.