Una funzione continua non è necessariamente aperta

Una funzione continua $ f: X \to Y $ non necessariamente mappa insiemi aperti di $ X $ in insiemi aperti di $ Y $.

La continuità di una funzione non implica la preservazione degli insiemi aperti, a differenza di quanto avviene per le funzioni aperte.

Pertanto, una funzione continua non è necessariamente una funzione aperta.

Cos'è una funzione aperta? In una funzione aperta $ f: X \to Y $ ogni insieme aperto in $ X $, attraverso una funzione aperta, ha come immagine un altro insieme aperto in $ Y $.

In altre parole, non tutte le funzioni continue sono funzioni aperte. Anche se una funzione è continua, non significa che se prendo un insieme aperto nel dominio, la sua immagine sarà aperta nel codominio.

Un esempio pratico
La differenza tra funzioni continue e funzioni aperte

Un esempio pratico

Considero la funzione $ f(x) = x^2 $, che è continua su $ \mathbb{R} $.

Prendo l'insieme aperto $ (-2, 2) $ in $ \mathbb{R} $, che contiene tutti i numeri reali compresi tra $ -2 $ e $ 2 $.

Applico la funzione $ f = x^2 $ a questo insieme.

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$

L'immagine di $ (-2, 2) $ attraverso $ f(x) = x^2 $ è l'intervallo $ [0, 4) $, che non è un insieme aperto.

Infatti, $ 0 $ appartiene all'intervallo, ma non c'è un intorno di $ 0 $ contenuto interamente in $ [0, 4) $, poiché $ 0 $ è un estremo inferiore chiuso.

Questo dimostra che, anche se $ f(x) = x^2 $ è una funzione continua, non mappa l'insieme aperto $ (-2, 2) $ in un insieme aperto, come indicato dalla nota.

Pertanto, la funzione $ f(x) = x^2 $ è continua in ogni punto del dominio ma non è una funzione aperta.

La differenza tra funzioni continue e funzioni aperte

I concetti di continuità e di apertura sono differenti perché preservano l'apertura degli insiemi in modo differente.

Funzione continua (secondo la definizione degli insiemi aperti)
Una funzione $ f: X \to Y $ è continua se l'immagine inversa di ogni insieme aperto in $ Y $ è un insieme aperto in $ X $. In altre parole, se prendo un insieme aperto $ U $ nel codominio $ Y $, il preimmagine di $ U $ attraverso $ f $ (cioè $ f^{-1}(U) $) deve essere un insieme aperto nel dominio $ X $.
La continuità mi dice che il "trascinamento all'indietro" degli insiemi aperti nel codominio $ Y $ attraverso $ f $ deve sempre restituire insiemi aperti nel dominio $ X $. Quindi, la continuità si occupa dell'immagine inversa degli insiemi aperti nel codominio. Quello che succede in avanti, cioè come si comportano gli insiemi aperti del dominio quando li porto nel codominio... non interessa minimamente alla continuità!
Funzione aperta
Una funzione $ f: X \to Y $ è aperta se mappa gli insiemi aperti di $ X $ in insiemi aperti di $ Y $. Cioè, se prendo un insieme aperto $ V $ nel dominio $ X $, la sua immagine $ f(V) $ deve essere un insieme aperto in $ Y $.
L'apertura si concentra sul "trascinamento in avanti" degli insiemi aperti dal dominio al codominio, ossia sull'immagine diretta degli insiemi aperti nel dominio, richiedendo che ogni insieme aperto in $ X $ venga mappato in un insieme aperto in $ Y $. Ma non mi dice nulla su quanto sia "continua" la funzione nel senso delle preimmagini.

In breve: la continuità gioca con il "portare indietro" insiemi aperti, mentre l'apertura gioca con il "portare avanti" gli insiemi aperti. Sono due giochi diversi...

E così via.