Esercizio sull'interno e la chiusura di un insieme in topologia 6
In questo esercizio devo determinare l'interno e la chiusura dell'insieme \(A = (0,1) \cup \{2\}\) su \(\mathbb{R}\) nella topologia del limite inferiore.
Interno
L'interno di un insieme è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in esso.
Nella topologia del limite inferiore gli insiemi aperti sono della forma \([a, b)\) per ogni \(a < b\).
L'intervallo \((0,1)\) non è aperto in questa topologia perché non può essere rappresentato come un'unione di intervalli del tipo \([a, b)\).
Tuttavia, sono aperti tutti gli intervalli [a,1) contenuti in (0,1) dove a>0 e l'unione di questi intervalli è (0,1).
$$ \text{Int}(A) = \bigcup_{0 < a < b < 1} [a, b) $$
Il punto $ \{2\} $ è isolato, quindi non contribuisce all'interno.
Quindi, l'interno di \(A\) è l'intervallo (0,1)
\[ \text{Int}(A) = (0,1) \]
Chiusura
La chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme stesso e del suo insieme di punti di accumulazione.
Nella lower limit topology, i punti di accumulazione di un insieme \(A\) sono quei punti dove ogni intervallo del tipo \([a, b)\) interseca \(A\).
L'intervallo \((0,1)\) ha come chiusura \([0,1]\) in questa topologia, perché ogni intervallo aperto \([a, b)\) con \(a \leq 0 < 1 \leq b\) interseca \((0,1)\).
Il punto \{2\} è isolato, quindi deve essere incluso nella chiusura, ma non genera nuovi punti di accumulazione.
Quindi, la chiusura di \(A\) è:
\[ \text{Cl}(A) = [0,1] \cup \{2\} \]
Soluzione
L'interno di \(A = (0,1) \cup \{2\}\) nella lower limit topology è \(\text{Int}(A) = (0,1).
La chiusura di \(A = (0,1) \cup \{2\}\) nella lower limit topology è \(\text{Cl}(A) = [0,1] \cup \{2\}\).
E così via.
