Esercizio sui punti di accumulazione in topologia 3

In questo esercizio devo determinare l'insieme dei punti limite di \( A = \{b\} \) nello spazio \( X = \{a, b, c\} \) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\).

La topologia su \( X = \{a, b, c\} \) è \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\). Gli insiemi aperti sono:

- \( \emptyset \)
- \( \{a\} \)
- \( \{a, b\} \)
- \( X \) (cioè \( \{a, b, c\} \))

Per trovare i punti di accumulazione di \( A = \{b\} \) devo analizzare ogni punto \( x \) nello spazio \( X = \{a, b, c\} \) e trovare quelli in cui ogni intorno contiene almeno un punto di \( A \) diverso da \( x \)

• Punto \( a \)
  - Gli intorni di \( a \) sono \(\{a\}\), \(\{a, b\}\), e \( X \).
  - \(\{a\}\) non contiene \( b \).
  - \(\{a, b\}\) contiene \( b \).
  - \( X \) contiene \( b \).
  Non tutti gli intorni di \( a \) contengono \( b \) ovvero un elemento di \( A \) diverso da \( x=a \). Pertanto, \( a \) non è un punto limite di \( A \).
• Punto \( b \)
  Gli intorni di \( b \) sono \(\{a, b\}\) e \( X \).
  - \(\{a, b\}\) contiene \( b \), ma per la definizione di punto limite, devo trovare almeno un punto di \( A \) diverso da \( x \) e in questo caso \( x = b \).
  - \( X \) contiene \( b \), ma anche in questo caso c'è solo il punto \( b \) stesso che non soddisfa la condizione di punto di accumulazione, perché devo trovare un punto diverso da \( x=b \).
  Pertanto, \( b \) non è un punto limite di \( A \) perché nessun intorno di \( b \) contiene un altro punto di \( A \) diverso da \( b \).
• Punto \( c \)
  L'unico intorno di \( c \) è \( X \).
  - \( X \) contiene \( b \), che è in \( A \) ed è diverso da \( x = c \). Quindi, soddisfa la condizione.
  Ogni intorno di \( c \) contiene \( b \), il che significa che \( c \) è un punto limite di \( A \).

In conclusione, solo il punto \( c \) è un punto di accumulazione dell'insieme \( A = \{b\} \) nello spazio \( X = \{a, b, c\} \) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\) è solo il punto \( c \).

Quindi, l'insieme dei punti limite di \( A \) è \(\{c\}\).

E così via.