Risolvere un equazione lineare in seno e coseno con l'angolo aggiunto
Un'equazione lineare in seno e coseno $$ a \sin x + b \cos x + c = 0 $$ si può trasformare tramite l'angolo aggiunto in un'equazione elementare $$ r \sin(x+k)+ c $$ la cui soluzione è $$ \sin(x+k) = - \frac{c}{r} $$
Dove r è l'ampiezza della sinusoide
$$ r = \sqrt{a^2+b^2} $$
mentre il parametro k è l'angolo aggiunto
$$ k = \arctan \frac{b}{a} $$
A cosa serve? Un'equazione goniometrica elementare si risolve molto più facilmente di un'equazione lineare in seno e coseno.
Un esempio pratico
Devo risolvere l'equazione lineare in seno e coseno
$$ \sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{3} $$
ossia
$$ \sqrt{3} \sin x + \cos x - \sqrt{3} = 0 $$
Applico il metodo dell'angolo aggiunto
$$ r \sin (x +k) + c = 0 $$
$$ \sqrt{a^2+b^2} \sin (x +k) + c = 0 $$
Sapendo che a=√3 , b = 1 , c=-√3
$$ \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} \sin (x + k) - \sqrt{3} = 0 $$
$$ \sqrt{3+1} \sin (x + k) - \sqrt{3} = 0 $$
$$ \sqrt{4} \sin (x + k) - \sqrt{3} = 0 $$
$$ 2 \sin (x + k) - \sqrt{3} = 0 $$
L'angolo aggiunto k=arctan(b/a) ossia k=arctan(1/√3)
$$ 2 \sin (x + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})) - \sqrt{3} = 0 $$
Sposto i termini noti a destra
$$ \sin (x + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Moltiplico e divido per √3
$$ \sin (x + \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} ) ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \sin (x + \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3} ) ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
La tangente assume il valore √3/3 con un angolo π/6 radianti (ossia 30°)
Quindi l'arcotangente di √3/3 è π/6
$$ \sin (x + \frac{\pi}{6} ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Questa è un'equazione goniometrica elementare sin(α)=numero che ammette infinite soluzioni
$$ x + \frac{\pi}{6} = \alpha + 2\pi k \vee x + \frac{\pi}{6} = (\pi - \alpha) + 2\pi k $$
Dove k è un numero intero qualsiasi.
Resta da capire qual è l'angolo α.
Considerando α = x+π/6 il seno sin(α)=√3/2 quando α = π/3 radianti (ossia 60°)
$$ x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \vee x + \frac{\pi}{6} = (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi k $$
$$ x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee x = \pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k $$
$$ x = \frac{2 \pi - \pi}{6} + 2\pi k \vee x = \frac{6 \pi - 2 \pi - \pi}{6} + 2\pi k $$
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee x = \frac{3 \pi}{6} + 2\pi k $$
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $$
Quando k=0 l'equazione ha due soluzioni x=π/6 e x=π/2
Variando k trovo tutte le altre soluzioni periodiche dell'equazione lineare in seno e coseno.
La dimostrazione
L'angolo aggiunto è un angolo che permette di trasformare un'equazione goniometrica lineare in seno e coseno
$$ y = a \sin x + b \cos x $$
in un'equazione sinusoidale equivalente
$$ y = r \cdot sin (x+k) $$
Dove r è l'ampiezza della sinusoide
$$ r = \sqrt{a^2+b^2} $$
mentre k è l'angolo aggiunto pari all'arcotangente del rapporto dei coefficienti b/a
$$ k = \arctan \frac{b}{a} $$
Pertanto, un'equazione lineare in seno e coseno
$$ a \sin x + b \cos x + c = 0 $$
posso riscriverla nella forma equivalente
$$ r \sin (x+k) + c = 0 $$
Sposto i termini noti c e r a destra
$$ \sin (x+k) = - \frac{c}{r} $$
Questa equazione è un'equazione goniometrica elementare del tipo sin(alfa)=numero
Quindi, si può risolvere abbastanza facilmente.
E così via.
