La logica
La logica si occupa di analisi dei metodi di ragionamento.
Un campo della logica è la logica matematica o logica simbolica ed è un settore specifico della matematica. Non si interessa del contenuto, se una premessa o una conclusione è vera o falsa, ma soltanto della forma.
Le proposizioni logiche
Una proposizione è un'affermazione che può essere vera oppure falsa.
Una proposizione non può essere contemporaneamente vera o falsa.
Esempio
Roma è la capitale d'Italia.
Le proposizioni si indicano generalmente con le lettere minuscole p, q, r, s, t.
Nota. Non tutte le affermazioni sono proposizioni. Ad esempio, l'espressione x+1≥0 non è una proposizione perché è vera per alcuni valori dell'incognita x (x>-1) ed è falsa per altri (x<-1). Per trasformare l'affermazione in una proposizione, devo necessariamente assegnare un valore alla variabile x.
Le operazioni logiche con le proposizioni
Le principali operazioni logiche sulle proposizioni sono:
Per rappresentare il risultato delle operazioni logiche si usano le tavole di verità.
In una tavola di verità sono indicati tutti i casi in cui una proposizione semplice o composta è vera e quelli in cui è falsa.
Esempio
$$ \begin{array}{cr|c} p & q & p ⇔ q \\ \hline f & f & v \\ f & v & f \\ v & f & f \\ v & v & v \end{array} $$
Due o più proposizioni sono proposizioni equivalenti se hanno la stessa tavola di verità.
Le proprietà delle operazioni logiche
Le operazioni logiche rispettano le seguenti proposizioni:
- Proprietà commutativa
$$ p ∧ q ⇔ q ∧ p \\ p ∨ q ⇔ q ∨ p $$ - Proprietà associativa
$$ ( p ∧ q ) ∧ z ⇔ p ∧ ( q ∧ z ) \\ ( p ∨ q ) ∨ z ⇔ p ∨ ( q ∨ z ) $$ - Proprietà distributiva
$$ p ∧ ( q ∨ z ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ z ) \\ p ∨ ( q ∧ z ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ z ) $$ - Leggi di De Morgan
$$ ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q \\ ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q $$
