Le proposizioni logiche

Una proposizione è un'affermazione logica che può essere vera o falsa.

Quest'ultima informazione è detta valore di verità.

Nota. Una proposizione non può essere vera e falsa. Se è vera non è falsa, e viceversa.

Un esempio pratico

Un esempio di proposizione logica è la seguente:

esempio di proposizione logica

Se considero gli uomini con il simbolo A e i mortali con il simbolo B, posso riscrivere la proposizione anche in una forma matematica (A=B).

la proposizione logica è stata trasformata in una forma matematica

Il valore di verità di questa proposizione è vero.

Nota. Non è importante che abbia un valore di verità vero. Potrebbe anche essere falso. Quello che conta nel ragionamento logico è associare alla proposizione un valore di verità di partenza ( vero o falso ).

La differenza tra affermazioni e proposizioni

Non tutte le affermazioni sono proposizioni.

Sono proposizioni soltanto le affermazioni che sono vere o false.

Esempio

L'affermazione x+1>0 non è una proposizione perché per i valori di x>-1 l'affermazione è vera mentre per altri valori x<-1 è falsa.

Nota. Per trasformare un'affermazione in proposizione occorre assegnare dei valori numerici alle incognite.

Le deduzioni logiche

Più preposizioni possono essere legate tra loro tramite in discorso con il metodo deduttivo.

In una deduzione c'è sempre una premessa e una conclusione.

un esempio pratico di deduzione

Il compito della logica matematica è stabilire se a partire da una premessa, si può dedurre una conclusione.

la deduzione

Nota. Non è compito della logica matematica stabilire se le premesse e le conclusioni siano vere o false. Ciò che conta è la correttezza del calcolo logico (andreaminini.org). E' un aspetto della logica matematica che vale la pena sottolineare perché spesso viene fraintesa.

Il percorso non è però privo di ostacoli.

In alcuni casi ci si può imbattere nelle contraddizioni che danno vita a veri e propri paradossi.

La contraddizione logica

Per spiegare le contraddizioni logiche faccio un esempio pratico.

La seguente proposizione è vera.

un esempio di contraddizione logica

Tuttavia, se la proposizione è vera (A=vera), allora anche la proposizione A è una menzogna (A=non è vera).

Quindi la proposizione "io sto mentendo" implica la proposizione "io non sto mentendo".

se la proposizione è vera, allora la proposizione è falsa

Le due proposizioni sono però l'una la negazione dell'altra.

Non possono verificarsi insieme.

un esempio di contraddizione logica e di paradosso logico

Si tratta di una contraddizione perché la conclusione contraddice la sua stessa premessa.

Ma se la premessa è falsa ...allora anche la conclusione non è vera. E così via.

un esempio di paradosso

Questo è un esempio classico di paradosso.

Nota. E' soltanto uno dei più semplici e conosciuti, ce ne sono molti altri ben più complessi. Nel calcolo logico-matematico le situazioni paradossali non sono rare.

Dal punto di vista formale una contraddizione è una proposizione composta che è sempre falsa, indipendentemente dal valore di verità delle proposizioni da cui è composta.

Esempio di contraddizione

Ecco un esempio pratico di contraddizione

$$ p ∧ ¬p $$

La proposizione è sempre falsa.

Sia se p è vera, sia se p è falsa.

Le proposizioni primitive e composte

Occorre distinguere tra proposizioni primitive e composte

  • La proposizione primitiva. Una proposizione p è primitiva se non può essere sprezzata in proposizioni più semplici tramite i connettivi logici.
  • La proposizione composta. Una proposizione è composta se non è primitiva. E' composta da due o più proposizioni.

Le tautologie

Una tautologia è una proposizione composta che è sempre vera, indipendentemente dal valore di verità delle proposizioni da cui è composta.

Un esempio di tautologia

Ecco un esempio pratico di tautologia

$$ p ∨ ¬p $$

La precedente proposizione è sempre vera.

Sia con p vera che con p falsa.

Le proposizioni equivalenti

Due proposizioni sono logicamente equivalenti se hanno la stessa tavola di verità.

Esempio

Le proposizioni p∧q e q∧p sono equivalenti.

$$ \begin{array}{cr|c} p & q & p∧q & q∧p \\ \hline f & f & f & f \\ f & v & f & f \\ v & f & f & f \\ v & v & v & v \end{array} $$

E così via.



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