Insieme denso in topologia

In uno spazio topologico X un sottoinsieme A è un insieme denso se la chiusura di A coincide con l'intero spazio X. $$Cl(A)=X$$

Questo significa che l'insieme denso "tocca" ogni parte dello spazio, nel senso che ogni punto dello spazio o è nel sottoinsieme o è un limite di punti del sottoinsieme.

La chiusura di A comprende tutti i punti di A più i suoi punti di accumulazione (limiti).

Un esempio pratico

Esempio 1

Nella topologia standard su $\mathbb{R}$ il sottoinsieme composto da tutti i numeri razionali ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$) è un insieme denso.

Questo perché se prendo due due numeri reali qualsiasi, distinti tra loro, tra questi esistono dei numeri razionali. Pertanto, ogni numero reale è un limite di numeri razionali.

In questo caso, la chiusura dei numeri razionali uguale è all'intero spazio topologico $\mathbb{R}$

$$Cl ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{R}$$

E questo soddisfa la definizione di insieme denso.

Nota. Analogamente ai razionali, nella topologia standard su $\mathbb{R}$ anche l'insieme dei numeri irrazionali $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$ è denso in $\mathbb{R}$ per ragioni simili. Ogni numero reale può essere approssimato arbitrariamente bene da numeri irrazionali. Quindi, per chiudere l'insieme dei numeri irrazionali dovrei prendere tutti i punti dell'insieme dei numeri reali. $$Cl ( \mathbb{I} ) = \mathbb{R}$$

Esempio 2

Nella topologia del complemento finito su $\mathbb{R}$, l'insieme $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è denso.

In generale, nella topologia del complemento finito un insieme è aperto se il suo complemento in $\mathbb{R}$ è finito.

Poiché il complemento di $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è l'insieme finito \{ 0 \}, deduco che $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è un insieme aperto.

Per determinare la chiusura di $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, devo considerare tutti i punti di accumulazione.

Poiché aggiungendo $0$ a $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ ottengo l'intero $\mathbb{R}$, deduco che l'unico insieme chiuso che può contenere $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è $\mathbb{R}$.

Pertanto, la chiusura coincide con l'intero insieme dello spazio topologico.

$$Cl( \mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R}$$

Questo vuol dire che l'insieme $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è denso in $\mathbb{R}$.

Nota. Questa proprietà di densità riflette la particolare natura della topologia del complemento finito, dove tutti gli insiemi infiniti hanno la tendenza a essere densi. In questa topologia gli insiemi chiusi sono gli insiemi finiti. Quindi, l'unico insieme chiuso in grado di contenere un insieme infinito è l'intero insieme R.

Esempio 3

Nella topologia standard su $\mathbb{R}$, l'intervallo (0,1) non è denso.

La chiusura dell'intervallo (0,1) è l'intervallo [0,1], che include i punti estremi 0 e 1, poiché ogni intorno di questi punti interseca l'intervallo (0,1).

Quindi, la chiusura non coincide con l'intero insieme $\mathbb{R}$.

Per questa ragione l'intervallo (0,1) non è un insieme denso nella topologia standard su $\mathbb{R}$

Nota. Tuttavia, se considero (0,1) come sottoinsieme della topologia standard nel sottospazio [0,1] allora (0,1) diventa denso in [0,1] nella topologia indotta, dato che la sua chiusura in questo sotto-spazio è esattamente l'insieme intero [0,1]. Questo esempio dimostra come la densità possa variare a seconda del contesto e dello spazio considerato: mentre (0,1) non è denso in $\mathbb{R}$, è denso nel sotto-spazio [0,1].

Esempio 4

 

E così via.