Il confine dell'insieme A={a,b} in X={a,b,c} nella topologia {X, Ø , {a}, {a,b}}

In questo esercizio devo determinare il confine (\(\partial A\)) dell'insieme \(A = \{a, b\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\).

In questa topologia gli insiemi aperti sono quelli indicati nella topologia stessa \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\)

Gli insiemi chiusi, invece, sono i loro complementi rispetto a \(X = \{a, b, c\}\) ovvero \(\{X, \{b,c \}, \{c\}, \emptyset\}\)

Il confine dell'insieme \(A\) è la differenza tra la chiusura e l'interno di \( A \)

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A)  $$

La chiusura di \(A\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene \(A = \{a,b\} \).

L'insieme chiuso più piccolo che contiene \(\{a, b\}\) è \(X\), cioè \(\{a, b, c\}\).

$$ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $$

L'interno di \(A\) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(A\).

In questa topologia gli insiemi aperti contenuti in \(\{a, b\}\) sono \(\{a\}\) e \(\{a, b\}\).

$$ \text{Int}(A) = \{a\} \cup \{a, b\} $$

$$ \text{Int}(A) =  \{a, b\} $$

Ora, posso calcolare la differenza tra la chiusura e l'interno di \(A\):

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A)  $$

$$ \partial A = \{a, b, c\} - \{a, b\} $$

$$ \partial A = \{c\} $$

Pertanto, il confine di \(A = \{a, b\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\) è $ \partial A = \{c\} $

Procedimento alternativo

Il confine di un insieme $ A $ è determinato dall'intersezione tra la chiusura di $ A $ e la chiusura del suo complemento $ X-A $

\[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) \]

So già che la chiusura di $ A $ è

$$ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $$

Il complemento di $ A =\{a,b \} $ è la differenza $ X-A $

$$ X - A = \{a, b, c\} - \{ a,b \} $$

$$ X - A = \{ c \} $$

La chiusura di $ X - A = \{ c \} $ è l'insieme chiuso più piccolo che contiene $ \{ c \} $

In questa topologia gli insiemi chiusi sono \(\{X, \{b,c \}, \{c\}, \emptyset\}\), quindi l'insieme chiuso più piccolo che contiene $ \{ c \} $ è l'insieme chiuso $ \{ c \} $ stesso

$$ \text{Cl}(X - A) = \{ c \} $$

A questo punto posso calcolare il confine come intersezione tra le due chiusure:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

$$ \partial A =  \{a, b, c\} \cap  \{c\} $$

$$ \partial A =   \{c\} $$

Pertanto, il confine di A è $ \partial A =   \{c\} $

E così via.