Teorema della continuità e delle sequenze convergenti

Se una funzione $ f: X \to Y $ è continua e una sequenza di punti $ x_1, x_2, \dots $ in $ X $ converge a un punto $ x $, allora la sequenza dei valori delle immagini $ f(x_1), f(x_2), \dots $ converge al valore $ f(x) $ in $ Y $.

In parole più semplici, una funzione continua preserva la convergenza delle sequenze.

Se i punti x_n si avvicinano sempre di più a x, allora i valori della funzione f(x_n)) si avvicineranno sempre di più a f(x).

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

Considero la funzione $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, data da $ f(x) = 2x $, e una sequenza $ x_n = \frac{1}{n} $ con $ n \in \mathbb{N} $.

Questa sequenza $ (x_n) $ converge a $ 0 $ quando $ n \to \infty $.

La sequenza $ x_n $ è $ x_1 = 1 $, $ x_2 = \frac{1}{2} $, $ x_3 = \frac{1}{3} $, e così via.

Si vede chiaramente che $ x_n $ tende a $ 0 $ man mano che $ n $ cresce.

Ora, applichiamo la funzione $ f $ a ogni termine della sequenza:

$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$

$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$

$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$

$$ ... $$

La nuova sequenza $ f(x_n) = 2x_n $ è $ 2, 1, \frac{2}{3}, \dots $, che converge a $ 0 $.

Quindi la sequenza $ (f(x_n)) $ converge a $ f(0) = 0 $, come previsto dal teorema.

La funzione continua ha preservato la convergenza della sequenza.

La dimostrazione

Per dimostrare che $ (f(x_n)) $ converge a $ f(x) $, devo partire dall'ipotesi che $ f $ è continua e sfruttare questa proprietà.

La continuità della funzione implica che l'immagine inversa di un insieme aperto in $ Y $ è un insieme aperto in $ X $.

Utilizzo questa caratteristica per dimostrare che, dato un intorno arbitrario $ U $ di $ f(x) $, i termini della sequenza $ f(x_n) $ rientrano in $ U $ per $ n $ sufficientemente grande.

Passo 1: Intorno arbitrario di $ f(x) $

Prendo un intorno arbitrario $ U $ di $ f(x) $ in $ Y $.

Questo significa che $ U $ è un insieme aperto che contiene $ f(x) $.

Il mio obiettivo è dimostrare che, per $ n $ sufficientemente grande, i termini della sequenza $ f(x_n) $ si trovano in $ U $.

Passo 2: Preimmagine di $ U $ tramite $ f $

Dato che $ f $ è continua, so che l'immagine inversa di $ U $ sotto $ f $, cioè $ f^{-1}(U) $, è un insieme aperto in $ X $.

Questo significa che tutti i punti $ x $ in $ f^{-1}(U) $ sono tali che la loro immagine sotto $ f $ appartiene a $ U $.

Inoltre, poiché $ f(x) \in U $, deduco che $ x \in f^{-1}(U) $.

Passo 3: Sequenza $ (x_n) $ converge a $ x $

Per ipotesi che la sequenza $ (x_1, x_2, \dots ) $ in $ X $ converge a $ x $.

Ciò significa che, per ogni intorno di $ x $, esiste un indice $ N $ tale che, per ogni $ n \geq N $, i termini $ x_n $ della sequenza sono tutti contenuti in quell'intorno.

Ora, poiché $ f^{-1}(U) $ è un intorno aperto di $ x $, posso applicare questa definizione di convergenza alla sequenza $ (x_n) $.

Passo 4: Esistenza di un $ N $

Dalla convergenza di $ (x_n) $ a $ x $, so che esiste un numero naturale $ N $ tale che, per ogni $ n \geq N $, i termini della sequenza $ x_n $ appartengono a $ f^{-1}(U) $.

Questo significa che per tutti gli $ n \geq N $, ho $ x_n \in f^{-1}(U) $, o in altre parole, $ f(x_n) \in U $.

Conclusione

Poiché $ f(x_n) \in U $ per ogni $ n \geq N $, posso concludere che la sequenza $ (f(x_n)) $ converge a $ f(x) $.

Questo dimostra che la funzione continua $ f $ preserva la convergenza delle sequenze: se $ (x_n) $ converge a $ x $, allora $ (f(x_n)) $ converge a $ f(x) $.

E così via.