Teorema della continuità della chiusura di un insieme

Data una funzione continua $ f : X \to Y $ e un insieme $ A \subset X $, se un punto $ x \in X $ appartiene alla chiusura dell'insieme $ A $ (cioè $ x \in Cl(A) $), allora l'immagine del punto $ f(x) $ appartiene alla chiusura dell'immagine dell'insieme $ f(A) $, cioè $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

In altre parole, il teorema stabilisce che la continuità di $ f $ preserva la relazione di appartenenza alla chiusura di un insieme.

Se un punto $ x $ è "vicino" (appartiene alla chiusura) a un insieme $ A $, la sua immagine $ f(x) $ sarà "vicina" (appartenente alla chiusura) all'immagine di $ A $.

Un esempio pratico
Dimostrazione

Un esempio pratico

Considero la funzione continua $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ definita come $ f(x) = x^2 $ nello spazio topologico $ X = \mathbb{R} $ e l'insieme $ A = (0, 2) \subseteq \mathbb{R} $.

$$ A = (0,2) $$

La chiusura di $ A $ è l'insieme $ Cl(A) = [0, 2] $, poiché aggiungo i punti di accumulazione $ x = 0 $ e $ x = 2 $, che non appartengono a $ A $ ma sono i due limiti dei punti di $ A $.

$$ Cl(A) = [0,2] $$

L'immagine dell'insieme $ A $ sotto la funzione $ f(x) = x^2 $ è $ f(A) = (0, 4) $, poiché $ f(x) = x^2 $ per $ x \in (0, 2) $ assume valori da $ 0 $ a $ 4 $ senza includere gli estremi.

$$ f(A)=(0,4) $$

La chiusura dell'immagine $ f(A) $ è l'intervallo chiuso $ Cl(f(A)) = [0, 4] $, poiché aggiungo i punti $ 0 $ e $ 4 $, che sono i limiti dei valori di $ f(x) = x^2 $ rispettivamente quando $ x \to 0 $ e $ x \to 2 $.

$$ Cl(f(A))=[0,4] $$

Secondo il teorema, se $ x \in Cl(A) $, allora $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Per $ x = 0 \in Cl(A) $ l'immagine $ f(0) = 0 \in Cl(f(A)) $
Per $ x = 2 \in Cl(A) $ l'immagine $ f(2) = 4 \in Cl(f(A)) $
Per qualsiasi $ 0<x< 2 \in Cl(A) $ l'immagine $ f(x) = \in Cl(f(A)) $

Il che conferma la validità del teorema: per ogni punto $ x $ della chiusura dell'insieme $ A $, l'immagine $ f(x) $ appartiene alla chiusura dell'immagine $ Cl(f(a)) $.

Dimostrazione

Considero una funzione continua $ f : X \to Y $, un punto $ x \in X $ e un insieme $ A \subset X $.

Per ipotesi iniziale l'immagine di $ x $ non appartiene alla chiusura di $ f(A) $ in $ Y $.

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

Dato che $ f(x) \notin Cl(f(A)) $, esiste un intorno aperto $ B \subseteq Y $ contenente $ f(x) $, tale che $ B \cap f(A) = \emptyset $.

Questo segue direttamente dal fatto che, per definizione di chiusura, $ f(x) \notin Cl(f(A)) $ implica l'esistenza di un intorno aperto di $ f(x) $ che non interseca $ f(A) $.

Poiché $ f $ è continua, la preimmagine $ f^{-1}(B) $ di questo intorno aperto $ B $ è un intorno aperto di $ x $ in $ X $.

Questo è garantito dalla continuità di $ f $, che preserva l'apertura degli insiemi.

Dato che $ B \cap f(A) = \emptyset $, l'intorno $ f^{-1}(B) $ non interseca $ A $, cioè $ f^{-1}(B) \cap A = \emptyset $.

In altre parole, l'intorno aperto $ f^{-1}(B) $ di $ x $ in $ X $ non contiene nessun punto di $ A $.

In conclusione, poiché esiste un intorno aperto di $ x $ che non interseca $ A $, per definizione di chiusura, $ x $ non appartiene alla chiusura di $ A $, cioè $ x \notin Cl(A) $.

Ho così dimostrato che se $ f(x) \notin Cl(f(A)) $, allora $ x \notin Cl(A) $.

Nota. La dimostrazione si basa sul fatto che, se l'immagine di $ x $ sotto $ f $ non è "vicina" a $ f(A) $ (cioè non appartiene alla chiusura di $ f(A) $), allora $ x $ non può essere "vicino" ad $ A $ (cioè non appartiene alla chiusura di $ A $).

E così via.