La continuità nella topologia quoziente

Nella topologia quoziente una funzione suriettiva $ f: X \to A $ è continua per costruzione, poiché un insieme $ V \subseteq A $ è aperto se e solo se la controimmagine $ f^{-1}(V) $ è aperta in $ X $.

Considero uno spazio topologico $ X $ e una funzione suriettiva $ f: X \to A $, dove $ A $ è un insieme qualsiasi che non è necessariamente un sottoinsieme di $X$.

La topologia quoziente su $ A $ mi garantisce che la funzione $ f $ è continua.

Questo accade perché nella topologia quoziente un insieme $ V \subseteq A $ è definito aperto in $ A $ (rispetto alla topologia quoziente) se e solo se la controimmagine di $ V $ sotto $ f $, cioè $ f^{-1}(V) $, è un insieme aperto in $ X $.

Pertanto, la definizione soddisfa anche la condizione di continuità di $ f $.

Nota. Grazie a questa definizione, la funzione $ f $ è automaticamente continua, perché la definizione stessa della topologia quoziente dipende dalle controimmagini degli insiemi aperti.

Un esempio pratico

Considero uno spazio $ X = \{a, b, c\} $, cioè un insieme con tre punti.

Ora definisco una funzione suriettiva $ f: X \to A $, dove $ A = \{1, 2 \} $, nel modo seguente:

$ f(a) = f(b) = 1 $
$ f(c) = 2 $.

Questa funzione "raggruppa" $ a $ e $ b $ nel punto $ 1 $ in $ A $.

Nella topologia quoziente un insieme $ V \subseteq A $ è definito "insieme aperto" se la sua controimmagine sotto $ f $, cioè $ f^{-1}(V) $, è aperta in $ X $.

Ad esempio, se prendo $ V = \{1\} \subseteq A $, la controimmagine di $ V $ è $ f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} $. Se $ \{a, b\} $ è aperto in $ X $, allora $ V $ è aperto in $ A $.

Quindi, gli insiemi aperti nello spazio $ A $ sono: $ \emptyset $, $ \{ 1,2 \} $ , $ \{ 2 \} $

$ f^{-1}(\{ \emptyset \}) = \emptyset $ che è l'insieme vuoto ed è aperto in ogni topologia, quindi è aperto in $ X $
$ f^{-1}(\{ 1,2 \}) = \{a, b\} \cup \{c\} = \{a, b, c\} $ che è tutto $ X $, quindi è aperto in $ X $
$ f^{-1}(\{ 1 \}) = \{a\} \cup \{b\} = \{a, b\} $ che è aperto in $ X $
$ f^{-1}(\{ 2 \}) = \{c\} $ che è aperto in $ X $

Questo significa che indirettamente la topologia quoziente su $ A $ rende la funzione $ f $ continua, perché ogni volta che un insieme è aperto in $ A $ , anche la sua controimmagine in $ X $ è aperta.

Pertanto, è la stessa definizione della topologia quoziente su $ A $ a rendere continua la funzione $ f $.

E' la topologia più grossolana che rende $ f $ continua.

E così via.