Interno e chiusura nella topologia standard su [-1,0)U(0,1]

La topologia standard di $ Y = [-1,0) \cup (0,1] $ eredita la topologia dalla retta reale $ \mathbb{R} $.

In altre parole, è equivalente a un sottospazio topologico di $ \mathbb{R} $ perché $ Y \subset \mathbb{R} $

Insiemi aperti nella topologia Y

In un sottospazio topologic oun insieme $ A \subseteq Y $ è aperto in $ Y $ se e solo se $ A $ può essere scritto come l'intersezione di un insieme aperto in $ \mathbb{R} $ con $ Y $.

Questo significa che $ A $ è aperto in $ Y $ se esiste un aperto $ O \subseteq \mathbb{R} $ tale che $ A = O \cap Y $.

Per capire meglio quali sono gli insiemi aperti e chiusi, la chiusura e l'interno degli insiemi in $ Y $, dobbiamo considerare l'intersezione degli insiemi aperti e chiusi della retta reale con $ Y $.

Ad esempio, $ Y $ stesso, cioè $ [-1,0) \cup (0,1] $, è aperto, perché sia [-1,0) che (0,1] posso ottenerli come intersezione tra Y e alcuni insiemi aperti di $ \mathbb{R} $ come (-1.5,0.5) e (-0.5,1.5).

$$ (-1.5,0.5) \cap Y = (-1.5,0.5) \cap ( [-1,0) \cup (0,1] ) = [1,0) $$

$$ (-0.5,1.5) \cap Y = (-0.5,1.5) \cap ( [-1,0) \cup (0,1] ) = (0,1] $$

Quindi, gli insiemi [1,0) e (0,1] sono entrambi aperti.

Sapendo che l'unione di insiemi aperti è ancora un insieme aperto, è aperto anche l'insieme $ Y [-1,0) \cup (0,1] $

In generale, sono aperti tutti gli insiemi come:

$ [-1, a) $ per $ -1 < a < 0 $
$ (b, 1] $ per $ 0 < b < 1 $.
$ (-1, a) \cup (b, 1] $ per $ -1 < a < 0 < b < 1 $.

Insiemi chiusi nella topologia Y

Gli insiemi chiusi in $ Y $ sono quelli che possono essere scritti come l'intersezione di un chiuso di $ \mathbb{R} $ con $ Y $.

Un insieme $ B \subseteq Y $ è chiuso in $ Y $ se e solo se $ Y \setminus B $ è aperto in $ Y $.

Questo significa che $ B $ è chiuso in $ Y $ se può essere scritto come l'intersezione di un chiuso in $ \mathbb{R} $ con $ Y $.

l'insieme [-1,0) di Y è anche chiuso, perché posso ottenerlo come intersezione di un insieme chiuso [-1.5,0] in $ \mathbb{R} $ con $ Y $

$$ [-1.5,0] \cap Y = [-1.5,0] \cap ( [-1,0) \cup (0,1] ) = [1,0) $$

Nota. In alternativa, posso seguire quest'altro ragionamento. Un insieme è chiuso se il suo complemento è aperto. In questo caso il complemento di [-1,0) nella topologia Y è l'insieme (0,1] che è aperto in Y. Quindi, l'insieme [-1,0) è il complemento di un insieme aperto, ovvero [-1,0) è un insieme chiuso in Y.

Per la stessa ragione è un insieme chiuso anche l'insieme (0,1] in Y, perché posso ottenerlo come intersezione tra un insieme chiuso [0,1] in R e Y.

$$ [0,1] \cap Y = [0,1] \cap ( [-1,0) \cup (0,1] ) = (1,0] $$

Pertanto, sapendo che l'unione di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso anche $ Y [-1,0) \cup (0,1] $ è un insieme chiuso.

Nota. In alternativa, potrei dedurre che Y è chiuso nella sua topologia perché il suo complemento è l'insieme vuoto Ø che è aperto in qualsiasi topologia. Il complemento di un insieme aperto è un insieme chiuso. Pertanto, Y è chiuso.

In generale, sono insiemi chiusi in $ Y $:

$ Y $ stesso.
$ [-1, a) $ per $ -1 < a < 0 $
$ (b, 1] $ per $ 0 < b < 1 $.
$[-1, a] \cap [-1, 0) \cup (0, b] $ per $ -1 \le a < 0 $ e $ 0 < b \le 1 $.

Nota. L'insieme $\{0\}$ non è chiuso in $ Y $ perché non può essere scritto come intersezione di un chiuso di $ \mathbb{R} $ con $ Y $.

Chiusura

La chiusura di un insieme $ A \subseteq Y $ è l'intersezione della chiusura di $ A $ in $ \mathbb{R} $ con $ Y $.

$$ \text{Cl}(A) \cap Y $$

Se $ \text{Cl}(A) $ denota la chiusura di $ A $ in $ \mathbb{R} $, allora la chiusura di $ A $ in $ Y $ è $ \text{Cl}(A) \cap Y $.

Ad esempio, la chiusura dell'insieme [-1,0) in $ \mathbb{R} $ è l'insieme [-1,0]

Quindi, la chiusura di [-1,0) in Y è l'intersezione tra la sua chiusura in R ovvero [-1,0] e l'insieme $ Y = [-1,0) \cup (0,1] $ stesso

$$ [-1,0] \cap Y = [-1,0) $$

Per la stessa ragione la chiusura di (0,1] in R è [0,1] e la chiusura di (0,1] in Y è sempre (0,1]

$$ [0,1] \cap Y = (0,1) $$

Pertanto la chiusura di $ Y = (-1,0) \cup (0,1) $ in $ Y $ è $ [-1,0) \cup (0,1] $.

Interno

L'interno di un insieme $ A \subseteq Y $ è l'intersezione dell'interno di $ A $ in $ \mathbb{R} $ con $ Y $.

Se $ \text{Int}(A) $ denota l'interno di $ A $ in $ \mathbb{R} $, allora l'interno di $ A $ in $ Y $ è $ \text{Int}(A) \cap Y $.

Ad esempio, l'interno di [-1,0) in $ \mathbb{R} $ è (-1,0). Quindi, l'interno di [-1,0) in Y è l'intersezione tra (-1,0) e Y.

$$ (-1,0) \cap Y = (-1,0) $$

L'interno di (0,1] in $ \mathbb{R} $ è (-1,0). Quindi, l'interno di (0,1] in Y è l'intersezione tra (0,1) e Y.

$$ (0,1) \cap Y = (0,1) $$

L'interno di Y $ [-1,0) \cup (0,1] $ in $ Y $ è $ (-1,0) \cup (0,1) $, quindi l'interno di Y è l'intersezione tra $ (-1,0) \cup (0,1) $ e Y.

$$ $ [ (-1,0) \cup (0,1) ] \cap Y = (-1,0) \cup (0,1) $

E così via.