Il confine è l'intersezione tra la chiusura dell'insieme e la chiusura del complemento

Se \( A \) è un sottoinsieme di uno spazio topologico \( X \), il confine  \( \partial A \) dell'insieme \( A \) è definito come l'insieme dei punti che appartengono alla chiusura di \( A \) e alla chiusura del complemento di \( A \).  $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

In altre parole, il confine di un insieme \(A\) coincide con l'intersezione tra la chiusura di \(A\) e la chiusura del complemento di \(A\).

L'intersezione di questi due insiemi, \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\), identifica i punti che sono simultaneamente nella chiusura di \( A \) e nella chiusura del complemento di \( A \).

Questi punti rappresentano il confine di \( A \), perché si trovano "sul bordo" tra \( A \) e il suo complemento. 

Un esempio pratico

L'insieme \( A \) è l'intervallo aperto \( (0, 1) \) nella retta reale \(\mathbb{R}\).

In questo caso la chiusura di \( (0, 1) \) include tutti i punti tra 0 e 1, inclusi gli estremi.

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

La chiusura del complemento di \( (0, 1) \) è

$$  \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = \text{Cl}((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

L'intersezione di questi due insiemi è il confine dell'insieme A.

$$  \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

$$  \partial A = \{0, 1\} $$

Quindi, il confine dell'intervallo \( (0, 1) \) è \(\{0, 1\}\), ovvero è l'insieme dei punti che si trovano esattamente tra l'interno dell'intervallo e il resto della retta reale.

La dimostrazione

Per definizione, il confine \(\partial A\) di \(A \subseteq X \) è l'insieme di tutti i punti \(x \in X\) tali che ogni intorno di \(x\) contiene almeno un punto di \(A\) e almeno un punto di \(X \setminus A\).

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x), U \cap A \neq \emptyset \text{ e } U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

Dove \(\mathcal{N}(x)\) è la famiglia degli intorni di \(x\).

Suddivido la dimostrazione in due parti:

1] Dimostrazione che \(\partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\)

Per definizione di confine, ogni punto \(x \in \partial A \) del confine ha un intorno \(U\) che interseca sia l'insieme \(A\) che suo complemento \(X \setminus A\).

Questo significa che ogni punto \(x \in \partial A \)

• ha un intorno che interseca \(A\), quindi il punto \(x\) appartiene alla chiusura di \(A\) $$ x \in \text{Cl}(A) $$
• ha un intorno che interseca il complemento \(X \setminus A\), quindi il punto \(x\) appartiene alla chiusura di \(X \setminus A\) $$ x \in \text{Cl}(X \setminus A) $$

Pertanto, \(x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\).

Questo dimostra che il confine di A è un sottoinsieme di  $ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $

$$ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

2] Dimostrazione che \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A\)

Ogni punto \(x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\)

• ha un intorno che interseca l'insieme \( A \) poiché \(x \in \text{Cl}(A)\).
• ha un intorno che interseca il complemento \(X \setminus A\)  poiché \(x \in \text{Cl}(X \setminus A)\)

Quindi, ogni intorno di \(x\) contiene almeno un punto di \(A\) e almeno un punto di \(X \setminus A\).

Questo significa che \(x \in \partial A\).

Pertanto, l'intersezione $ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $ è un sottoinsieme del confine $ \partial A $

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A $$

3] Conclusione

Le due parti della dimostrazione confermano che:

• $ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $
• $ \partial A \supseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)   $

Quindi, il confine di A è uguale all'intersezione delle chiusure di A e del suo complemento.

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Questo conclude la dimostrazione.

E così via