Esercizio sull'interno e la chiusura di un insieme in topologia 3

In questo esercizio devo determinare l'interno \(\text{Int}(A)\) e la chiusura \(\text{Cl}(A)\) dell'insieme \(A = \{b\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\).

Interno dell'insieme A

L'interno di A={b} è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in A.

Gli insiemi aperti in questa topologia sono \(X\), \(\emptyset\), \(\{a\}\), e \(\{a, b\}\).

Tra questi, solo \(\emptyset\) è contenuto in \(\{b\}\).

Quindi, l'interno di A={b} è l'insieme vuoto Ø

$$ \text{Int}(A) = \emptyset $$

Chiusura dell'insieme A

La chiusura di \(A\) è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono A.

Gli insiemi chiusi sono i complementi degli insiemi aperti.

In questa topologia gli insiemi aperti sono \(X\), \(\emptyset\), \(\{a\}\), e \(\{a, b\}\), quindi gli insiemi chiusi sono:

\(X^c = \emptyset\)
\(\emptyset^c = X = \{a, b, c\}\)
\(\{a\}^c = \{b, c\}\)
\(\{a, b\}^c = \{c\}\) 

Gli insiemi chiusi che contengono A={b} sono X={a,b,c} e {b, c}. L'intersezione di questi insiemi è {b,c}.

$$ \text{Cl}(A) = \{b, c\} \cap \{a, b, c \} = \{ b,c \} $$

Pertanto la chiusura dell'insieme A={b} è l'insieme {b,c}

$$ \text{Cl}(A) = \{b,c \} $$

E così via.