Equivalenza topologica del prodotto degli spazi

Se $ X $, $ Y $, e $ Z $ sono spazi topologici, i prodotti $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ sono topologicamente equivalenti. $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Questo significa che, indipendentemente da come si raggruppano gli spazi in un prodotto cartesiano, il risultato sarà lo stesso spazio topologico.

In altre parole, il prodotto cartesiano degli spazi topologici soddisfa la proprietà associativa.

Nota. Questa proprietà facilita l'analisi degli spazi prodotti, perché mi permette di considerare il prodotto di più spazi topologici senza preoccuparmi dell'ordine o del raggruppamento degli spazi stessi.

Un esempio pratico

Un semplice esempio per illustrare l'equivalenza topologica dei prodotti posso farlo utilizzando spazi topologici elementari come $\mathbb{R}$ (lo spazio dei numeri reali con la topologia standard) e $\mathbb{R}^2$ (il piano cartesiano con la topologia prodotto).

Considerio tre copie dello spazio $\mathbb{R}$:

$X = \mathbb{R}$
$Y = \mathbb{R}$
$Z = \mathbb{R}$

Poi analizzo i diversi modi di formare prodotti tra questi spazi:

Prodotto (X×Y)×Z
Prima calcolo $X \times Y$, che è il piano cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$. Poi, calcolo il prodotto di $\mathbb{R}^2$ con $Z$, cioè $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$. Questo prodotto è uno spazio di triple ordinate $((x, y), z)$ dove $x, y, z \in \mathbb{R}$, che può essere identificato con $\mathbb{R}^3$.
Prodotto X×(Y×Z)
Prima calcolo $Y \times Z$, che è di nuovo il piano cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$. Poi, calcolo il prodotto di $X$ con $\mathbb{R}^2$, cioè $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$. Anche questo prodotto è uno spazio di triple ordinate $(x, (y, z))$ dove $x, y, z \in \mathbb{R}$, che può essere identificato con $\mathbb{R}^3$.
Prodotto X×Y×Z
Calcolo direttamente il prodotto cartesiano dei tre spazi $\mathbb{R}$, ottenendo uno spazio di triple ordinate $(x, y, z)$ dove $x, y, z \in \mathbb{R}$. Anche questo prodotto è equivalente a $\mathbb{R}^3$.

In tutti e tre i casi, il risultato è uno spazio topologico che è omeomorfo a $\mathbb{R}^3$.

Le differenze nelle parentesi o nell'ordine in cui vengono calcolati i prodotti non cambiano il risultato finale, confermando che i tre prodotti sono topologicamente equivalenti.

Questo esempio dimostra come, indipendentemente dall'ordine di raggruppamento degli spazi, il risultato finale è lo stesso spazio topologico.

E così via.