Definizione di continuità con gli insiemi chiusi

Dati due spazi topologici $ X $ e $ Y $ una funzione $ f: X \to Y $ è continua se e solo se per ogni insieme chiuso $ C \subseteq Y $, la controimmagine $ f^{-1}(C) $ è un insieme chiuso in $ X $.

Questo teorema fornisce una definizione alternativa della continuità di una funzione tra due spazi topologici.

Solitamente, la continuità viene definita richiedendo che la controimmagine di ogni insieme aperto in $ Y $ sia aperta in $ X $.

Tuttavia, questo teorema dimostra che è possibile anche considerare gli insiemi chiusi: una funzione $ f: X \to Y $ è continua se la controimmagine $ f^{-1}(C) $ di qualsiasi insieme chiuso in $ Y $ è chiusa in $ X $.

Nota. Questo riflette la dualità tra insiemi aperti e chiusi nella definizione di continuità, poiché ogni insieme chiuso può essere visto come il complemento di un insieme aperto e viceversa.

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

Considero una funzione $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ come $ f(x) = x^2 $ con la topologia standard, dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti e le loro unioni.

$$ f(x) = x^2 $$

Devo verificare che la controimmagine di ogni insieme chiuso in $ Y $ sia chiusa in $ X $.

Prendo un insieme chiuso in $ Y $. Ad esempio, $ C = [1, +\infty) \subseteq Y $, che è chiuso in $ Y $ perché comprende l'estremo inferiore.

La controimmagine di $ C $ tramite $ f $ è:

$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) = x^2 \in [1, +\infty) \} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$

L'insieme $ f^{-1}(C) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $ è chiuso in $ \mathbb{R} $, poiché gli intervalli nella forma $[-a, +\infty)$ sono chiusi nella topologia standard su $ \mathbb{R} $.

Poiché la controimmagine di $ [1, +\infty) $, che è un insieme chiuso in $ Y $, è chiusa in $ X $, ho soddisfatto la condizione di continuità.

Ripetendo questo ragionamento per ogni insieme chiuso in $ Y $, posso concludere che la funzione $ f(x) = x^2 $ è continua.

La dimostrazione

La dimostrazione si basa su due direzioni: devo mostrare sia che se $ f $ è continua allora la controimmagine di ogni insieme chiuso è chiusa, sia che se la controimmagine di ogni insieme chiuso è chiusa, allora $ f $ è continua.

1] (⇒) Se $ f $ è continua, allora $ f^{-1}(C) $ è chiuso per ogni insieme chiuso $ C \subseteq Y $:

Per ipotesi la funzione $ f $ è continua. Quindi, secondo la definizione standard, la controimmagine di ogni insieme aperto in $ Y $ è aperta in $ X $.

Prendo un insieme chiuso $ C \subseteq Y $. L'insieme $ C $ è chiuso, quindi il suo complemento $ Y \setminus C $ è aperto in $ Y $.

Poiché $ f $ è continua, la controimmagine di $ Y \setminus C $, cioè $ f^{-1}(Y \setminus C) $, è aperta in $ X $.

Ma la controimmagine di un complemento è il complemento della controimmagine, cioè $ f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) $.

Quindi, $ X \setminus f^{-1}(C) $ è aperto in $ X $, il che implica che $ f^{-1}(C) $ è chiuso in $ X $.

Questo dimostra che se $ f $ è continua, la controimmagine di ogni insieme chiuso è chiusa.

2] (⇐) Se la controimmagine di ogni insieme chiuso è chiusa, allora $ f $ è continua:

Per ipotesi la controimmagine di ogni insieme chiuso in $ Y $ è chiusa in $ X $.

Prendo un insieme aperto $ U \subseteq Y $. Devo dimostrare che $ f^{-1}(U) $ è aperto in $ X $.

So già che $ U $ è aperto, quindi il suo complemento $ Y \setminus U $ è chiuso in $ Y $.

Per ipotesi, la controimmagine di $ Y \setminus U $, cioè $ f^{-1}(Y \setminus U) $, è chiusa in $ X $.

Ma $ f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) $, quindi $ X \setminus f^{-1}(U) $ è chiuso in $ X $.

Questo implica che $ f^{-1}(U) $ è aperto in $ X $, poiché il complemento di un insieme chiuso è aperto.

Quindi, la funzione $ f $ è continua.

3] Conclusione

Ho dimostrato entrambe le direzioni. Pertanto, una funzione $ f: X \to Y $ è continua se e solo se la controimmagine di ogni insieme chiuso $ C \subseteq Y $ è chiusa in $ X $.

E così via.