Definizione di continuità con gli insiemi chiusi

Dati due spazi topologici $X$ e $Y$ una funzione $f: X \to Y$ è continua se e solo se per ogni insieme chiuso $C \subseteq Y$, la controimmagine $f^{-1}(C)$ è un insieme chiuso in $X$.

Questo teorema fornisce una definizione alternativa della continuità di una funzione tra due spazi topologici.

Solitamente, la continuità viene definita richiedendo che la controimmagine di ogni insieme aperto in $Y$ sia aperta in $X$.

Tuttavia, questo teorema dimostra che è possibile anche considerare gli insiemi chiusi: una funzione  $f: X \to Y$ è continua se la controimmagine  $f^{-1}(C)$ di qualsiasi insieme chiuso in $Y$ è chiusa in $X$.

Nota. Questo riflette la dualità tra insiemi aperti e chiusi nella definizione di continuità, poiché ogni insieme chiuso può essere visto come il complemento di un insieme aperto e viceversa.

Un esempio pratico

Considero una funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come $f(x) = x^2$ con la topologia standard, dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti e le loro unioni.

$$f(x) = x^2$$

Devo verificare che la controimmagine di ogni insieme chiuso in $Y$ sia chiusa in $X$.

Prendo un insieme chiuso in $Y$. Ad esempio, $C = [1, +\infty) \subseteq Y$, che è chiuso in $Y$ perché comprende l'estremo inferiore.

La controimmagine di $C$ tramite $f$ è:

$$f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) = x^2 \in [1, +\infty) \} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$

L'insieme $f^{-1}(C) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ è chiuso in $\mathbb{R}$, poiché gli intervalli nella forma $[-a, +\infty)$ sono chiusi nella topologia standard su $\mathbb{R}$.

Poiché la controimmagine di $[1, +\infty)$, che è un insieme chiuso in $Y$, è chiusa in $X$, ho soddisfatto la condizione di continuità.

Ripetendo questo ragionamento per ogni insieme chiuso in $Y$, posso concludere che la funzione $f(x) = x^2$ è continua.

La dimostrazione

La dimostrazione si basa su due direzioni: devo mostrare sia che se $f$ è continua allora la controimmagine di ogni insieme chiuso è chiusa, sia che se la controimmagine di ogni insieme chiuso è chiusa, allora $f$ è continua.

1] (⇒) Se $f$ è continua, allora $f^{-1}(C)$ è chiuso per ogni insieme chiuso $C \subseteq Y$:

Per ipotesi la funzione $f$ è continua. Quindi, secondo la definizione standard, la controimmagine di ogni insieme aperto in $Y$ è aperta in $X$.

Prendo un insieme chiuso $C \subseteq Y$. L'insieme $C$ è chiuso, quindi il suo complemento $Y \setminus C$ è aperto in $Y$.

Poiché $f$ è continua, la controimmagine di $Y \setminus C$, cioè $f^{-1}(Y \setminus C)$, è aperta in $X$.

Ma la controimmagine di un complemento è il complemento della controimmagine, cioè $f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C)$.

Quindi, $X \setminus f^{-1}(C)$ è aperto in $X$, il che implica che $f^{-1}(C)$ è chiuso in $X$.

Questo dimostra che se $f$ è continua, la controimmagine di ogni insieme chiuso è chiusa.

2] (⇐) Se la controimmagine di ogni insieme chiuso è chiusa, allora $f$ è continua:

Per ipotesi la controimmagine di ogni insieme chiuso in $Y$ è chiusa in $X$.

Prendo un insieme aperto $U \subseteq Y$. Devo dimostrare che $f^{-1}(U)$ è aperto in $X$.

So già che $U$ è aperto, quindi il suo complemento $Y \setminus U$ è chiuso in $Y$.

Per ipotesi, la controimmagine di $Y \setminus U$, cioè $f^{-1}(Y \setminus U)$, è chiusa in $X$.

Ma $f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U)$, quindi $X \setminus f^{-1}(U)$ è chiuso in $X$.

Questo implica che $f^{-1}(U)$ è aperto in $X$, poiché il complemento di un insieme chiuso è aperto.

Quindi, la funzione $f$ è continua.

3] Conclusione

Ho dimostrato entrambe le direzioni. Pertanto, una funzione $f: X \to Y$ è continua se e solo se la controimmagine di ogni insieme chiuso $C \subseteq Y$ è chiusa in $X$.

E così via.