Come calcolare l'angolo tra due rette
Due rette r e r’ che si intersecano in un punto del piano $$ y=m \cdot x + q \\ y’ = m' \cdot x’ + q' $$ formano un angolo gamma pari all'arcotangente del rapporto $$ \gamma = \arctan \frac{m-m'}{1+m \cdot m'} $$
Dove m e m’ sono i coefficienti angolari delle rette.
Un esempio pratico
Prendo in considerazione due rette
$$ r: \ \ \ y = 4x-3 $$
$$ r': \ \ \ y = -x+3 $$
Calcolo l'angolo tra le due rette incidenti usando la formula.
$$ \gamma = \arctan \frac{m-m'}{1+m \cdot m'} $$
Il coefficiente angolare della prima retta è m=4 mentre quello della seconda retta è m'=-1
$$ \gamma = \arctan \frac{4-(-1)}{1+4 \cdot (-1)} $$
$$ \gamma = \arctan \frac{5}{-3} $$
$$ \gamma = -59,03° $$
$$ \gamma =59,03° $$
Dal punto di vista grafico
L'altro angolo tra le rette è un angolo supplementare.
Quindi, si calcola per differenza tra 180° (π rad) e l'angolo γ.
$$ γ' = π - γ $$
$$ γ' = 180° - 59,03° $$
$$ γ' = 120,96° $$
Dal punto di vista grafico.
Nota. Gli altri due angoli dell'intersezione sono angoli opposti. Pertanto, sono uguali a quelli appena calcolati.
Esempio 2
Ho due rette incidenti r e r'
$$ r: \ \ \ y = 3x-2 $$
$$ r': \ \ \ y = x+4 $$
Calcolo l'angolo tra le due rette incidenti con la formula.
$$ \gamma = \arctan \frac{m-m'}{1+m \cdot m'} $$
Il coefficiente angolare della prima retta è m=3 mentre quello della seconda retta è m'=1
$$ \gamma = \arctan \frac{3-(1)}{1+3 \cdot 1} $$
$$ \gamma = \arctan \frac{2}{4} $$
$$ \gamma = \arctan \frac{1}{2} $$
$$ \gamma = 26,56° $$
Dal punto di vista grafico.
L'altro angolo tra le rette è un angolo supplementare.
Quindi, si calcola per differenza tra 180° (π rad) e l'angolo γ.
$$ γ' = π - γ $$
$$ γ' = 180° - 26,53° $$
$$ γ' = 153,43° $$
Dal punto di visto grafico
Nota. Gli altri due angoli dell'intersezione sono angoli opposti. Pertanto, sono uguali a quelli appena calcolati.
La dimostrazione
Per calcolare l'angolo tra due rette è d'aiuto la trigonometria.
Due rette incidenti (non parallele) r e r’ si intersecano in un punto P del piano.
$$ r: \ \ y=m \cdot x + q $$ $$ r’ : \ \ y’ = m' \cdot x’ + q' $$
Dove m e m' sono i coefficienti angolari delle rette.
Le due rette intersecano in due punti sull'asse dell'ascisse A e B formando due angoli α e β con l'asse.
$$ \alpha = \tan \frac{y}{x} = m $$
$$ \beta = \tan \frac{y'}{x'} = m' $$
L'unione dei punti A, B, P con tre segmenti forma un triangolo ABP.
La somma degli angoli interni di un triangolo è π radianti (180°).
L'angolo beta (β) è un angolo esterno al triangolo ed è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti beta (β) e gamma (γ) perché è un angolo supplementare all'angolo interno β'.
Pertanto, posso scrivere l'equazione
$$ \alpha = \beta + \gamma $$
Metto in evidenza l'angolo gamma
$$ \gamma = \alpha - \beta $$
Calcolo la tangente a entrambi i membri dell'equazione
$$ \tan \gamma = \tan ( \alpha - \beta ) $$
Poi applico la formula della sottrazione della tangente al secondo membro dell'equazione.
$$ \tan \gamma = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} $$
Sapendo che la tangente dell'angolo alfa è uguale al coefficiente angolare m della prima retta tan α = m
$$ \tan \gamma = \frac{m - \tan \beta}{1 + m \cdot \tan \beta} $$
e che la tangente dell'angolo beta è uguale al coefficiente angolare m' della seconda retta tan β = m'
$$ \tan \gamma = \frac{m - m'}{1 + m \cdot m'} $$
Se il valore della tangente è positivo si tratta dell'angolo acuto tra le due rette. Viceversa, se la tangente è negativa si tratta dell'angolo ottuso tra le due rette.
Calcolo l'arcotangente a entrambi i membri dell'equazione e ottengo l'angolo gamma (γ) ossia l'angolo tra le due rette.
$$ \arctan \tan \gamma = \arctan \frac{m - m'}{1 + m \cdot m'} $$
$$ \gamma = \arctan \frac{m - m'}{1 + m \cdot m'} $$
Ho ottenuto la formula che volevo dimostrare.
E così via.
