Unione tra il confine e l'interno di un insieme
L'unione tra il bordo di un insieme \( \partial A \) e l'interno dell'insieme \( Int(A) \) è uguale alla chiusura di \( A \). $$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Un esempio numerico
Riprendo l'esempio con \(A = (0, 1)\) nello spazio topologico \(\mathbb{R}\):
L'interno di \(A\) è l'intervallo aperto (0,1)
$$ Int(A) = (0, 1) $$
La chiusura di \(A\) è l'intervallo chiuso [0,1] con gli estremi inclusi.
$$ Cl(A) = [0, 1] $$
Il confine di \(A\) è un insieme composto dagli estremi 0 e 1.
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
L'unione tra il confine di \(A\) e l'interno di \(A\) è esattamente la chiusura di \(A\):
$$ \partial A \cup Int(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$
$$ \partial A \cup Int(A) = Cl(A) $$
Questa proprietà mostra che tutti i punti di \(A\), compresi i suoi punti di accumulazione (bordo), sono coperti dall'unione dell'interno e del bordo di \(A\).
La dimostrazione
Per dimostrare formalmente questa proprietà ricordo alcune definizioni.
- Interno di \(A\) (\(Int(A)\))
L'interno di \(A\) è l'insieme di tutti i punti di \(A\) che hanno un intorno contenuto completamente in \(A\). - Chiusura di \(A\) (\(Cl(A)\))
La chiusura di \(A\) è l'insieme di tutti i punti di \(A\) più i suoi punti di accumulazione. In altre parole, \(Cl(A) = A \cup \partial A\). - Confine di \(A\) (\(\partial A\))
Il bordo di \(A\) è l'insieme dei punti che appartengono sia alla chiusura di \(A\) che alla chiusura del complemento di \(A\). Formalmente, \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)\).
Considero l'insieme \(A\) in uno spazio topologico \(X\).
Per definizione, la chiusura di \(A\) è:
$$ Cl(A) = Int(A) \cup \partial A $$
L'interno di \(A\) è per definizione disgiunto dal bordo di \(A\), ovvero:
$$ Int(A) \cap \partial A = \emptyset $$
Quindi, posso scrivere:
$$ Cl(A) = Int(A) \cup \partial A $$
E così via.
