Unione di insiemi aperti nella topologia quoziente

Data l'unione di una collezione $ U_i $ di insiemi aperti nella topologia quoziente Q, la preimmagine dell'unione è uguale all'unione delle preimmagini che è un'unione di insiemi aperti nella topologia di origine X. $$ p^{-1}( \bigcup U_i ) = \bigcup{ p^{-1}(U_i) } $$ Pertanto, l'unione degli insiemi aperti è un insieme aperto nella topologia quoziente.

Un esempio pratico

Considero l'insieme dei numeri reali $ \mathbb{R} $ e costruisco una topologia quoziente tramite la mappa $ p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, che manda tutti i numeri reale $ x \in \mathbb{R} $ al loro equivalente modulo 1.

In altre parole, l'immagine di ogni numero reale è la sua parte decimale.

Ad esempio, i numeri 0.3, 1.3, 2.3, ecc. sotto la mappa $ p $ puntano tutti al numero 0.3 della topologia quoziente.

esempio

Quindi, lo spazio quoziente Q è un cerchio composto dai numeri reali da 0 (incluso) a 1 (escluso) ossia [0,1).

Prendo come esempio una collezione di insiemi aperti nell'intervallo $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $. Per esempio:

$ U_1 = (0.1, 0.4) $
$ U_2 = (0.6, 0.8) $

Questi sono insiemi aperti nel quoziente $ Q $, cioè nel cerchio.

Adesso, voglio vedere cosa succede all'unione di questi due insiemi aperti nella topologia quoziente.

La preimmagine di $ U_1 $ sotto la mappa $ p $ è l’unione di tutti gli intervalli aperti \[ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.4) \cup (1.1, 1.4) \cup (2.1, 2.4) \cup \dots \]
La preimmagine di $ U_2 $: sotto la mappa $ p $ è l’unione di tutti gli intervalli aperti \[ p^{-1}(U_2) = (0.6, 0.8) \cup (1.6, 1.8) \cup (2.6, 2.8) \cup \dots \]

L'unione degli insiemi $ U_1 $ e $ U_2 $ nell'intervallo [0,1) dello spazio quoziente $ Q $ è:

$$ U_1 \cup U_2 = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) $$

La preimmagine di questa unione è uguale all'unione delle preimmagini

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

E quindi diventa:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) \cup (1.1, 1.4) \cup (1.6, 1.8) \cup \dots $$

L'unione delle preimmagini è un’unione di intervalli aperti in $ \mathbb{R} $, quindi è aperta in $ \mathbb{R} $.

Questo significa che anche l’unione degli insiemi aperti $ U_1 \cup U_2 $ è aperta nella topologia quoziente su $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

E così via.