Teorema di Hausdorff sugli omeomorfismi

Il teorema afferma che se $ f: X \to Y $ è un omeomorfismo e $ X $ è uno spazio di Hausdorff, allora anche $ Y $ sarà uno spazio di Hausdorff.

Ciò significa che l'essere uno spazio di Hausdorff è una proprietà topologica, preservata dagli omeomorfismi.

In altre parole, se c'è una corrispondenza biunivoca e continua tra $ X $ e $ Y $, con l'inversa anch'essa continua, e $ X $ possiede la proprietà di essere un spazio di Hausdorff (ossia, dati due punti distinti, è sempre possibile trovare intorni aperti disgiunti che li contengano), allora anche $ Y $ avrà la stessa proprietà.

Questo risultato sfrutta il fatto che un omeomorfismo preserva le proprietà topologiche, e poiché essere di Hausdorff è una proprietà topologica, lo spazio $ Y $ eredita questa proprietà da $ X $.

Nota. In molte fonti, viene semplicemente indicato come una conseguenza del fatto che essere di Hausdorff è una proprietà topologica, cioè una proprietà preservata sotto omeomorfismi.

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

Considero due spazi topologici:

$ X = \mathbb{R} $, la retta reale con la topologia standard.
$ Y = (0, 1) $, l'intervallo aperto con la topologia indotta dalla retta reale.

Definisco una funzione $ f: \mathbb{R} \to (0, 1) $ che mappa la retta reale sull'intervallo aperto $ (0, 1) $.

Una funzione ben nota che può fare questo è la funzione sigmoide, che comprime i valori di $ \mathbb{R} $ nell'intervallo $ (0, 1) $:

$$ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$

Questa è una funzione che prende valori reali e li trasforma in un numero compreso tra 0 e 1, esclusi.

Verifica che $ f $ è un omeomorfismo:

Continuità: La funzione $ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $ è continua, poiché è costruita utilizzando operazioni continue (esponenziale e operazioni algebriche). Mappa ogni punto reale in un punto dell'intervallo aperto $ (0, 1) $.
Iniettività: La funzione è iniettiva, cioè ogni valore $ x \in \mathbb{R} $ viene mandato in un valore unico di $ f(x) $ nell'intervallo $ (0, 1) $. La sigmoide è strettamente crescente e quindi iniettiva, ossia non assume mai lo stesso valore per due input distinti.
Continuità dell'inversa: L'inversa della funzione sigmoide è data da: $$ f^{-1}(y) = \ln\left(\frac{y}{1 - y}\right) $$ Questa funzione è anch'essa continua, e quindi $ f $ è un omeomorfismo.

Sappiamo che $ \mathbb{R} $ con la topologia standard è uno spazio di Hausdorff.

Per il Teorema di Hausdorff degli omeomorfismi, poiché $ f $ è un omeomorfismo, anche $ (0, 1) $ sarà di uno spazio di Hausdorff.

In conclusione, grazie al teorema, so che l'intervallo aperto $ (0, 1) $ è uno spazio di Hausdorff perché è omeomorfo a $ \mathbb{R} $, che ha già la proprietà di Hausdorff.

Questo esempio dimostra come una trasformazione continua e biunivoca tra $ \mathbb{R} $ e un intervallo aperto come $ (0, 1) $ preserva la proprietà topologica di Hausdorff.

La dimostrazione

Per ipotesi iniziale

$ f : X \to Y $ è un omeomorfismo, cioè $ f $ è una funzione biunivoca (iniettiva e suriettiva), continua e con inversa continua
lo spazio $ X $ è uno spazio di Hausdorff.

Devo dimostrare che anche $ Y $ è uno spazio di Hausdorff, cioè che dati due punti distinti $ y_1, y_2 \in Y $, esistono intorni aperti disgiunti che li contengono.

Poiché $ f $ è suriettiva esistono due valori $ x_1, x_2 \in X $ tali che $ f(x_1) = y_1 $ e $ f(x_2) = y_2 $.

Se prendo due valori distinti $ x_1 \ne x_2 $ , esistono intorni aperti disgiunti $ U_1 $ e $ U_2 $ in $ X $, tali che $ x_1 \in U_1 $ e $ x_2 \in U_2 $, dato che $ X $ è uno spazio di Hausdorff.

Poiché $ f $ è iniettiva, da $ f(x_1)=y_1 $ e $ f_(x_2)=y_2 $ segue che $ y_1 \neq y_2 $.

Ora, poiché $ f $ è continua, poichè per ipotesi iniziale è un omeomorfismo, gli insiemi $ f(U_1) $ e $ f(U_2) $ sono aperti in $ Y $, poiché la continuità garantisce che l'immagine di un insieme aperto di $ X $ sia aperta in $ Y $).

Quindi, le immagini degli insiemi aperti $ U_1 $ e $ U_2 $ in $ X $ sono ancora degli insiemi aperti $ f(U_1) $ e $ f(U_2) $ in $ Y $.

Aggiungo che gli insiemi $ f(U_1) $ e $ f(U_2) $ contengono rispettivamente $ y_1 $ e $ y_2 $, poiché $ f(x_1) = y_1 $ e $ f(x_2) = y_2 $.

Infine, gli insiemi $ f(U_1) $ e $ f(U_2) $ sono insiemi disgiunti. Questo perché se ci fosse un punto $ z \in f(U_1) \cap f(U_2) $, allora $ z = f(x_1') = f(x_2') $ per qualche $ x_1' \in U_1 $ e $ x_2' \in U_2 $, ma questo contraddirebbe il fatto che $ U_1 $ e $ U_2 $ sono disgiunti in $ X $ e che $ f $ è iniettiva.

Quindi, ho trovato due intorni aperti disgiunti $ f(U_1) $ e $ f(U_2) $ in $ Y $ che contengono rispettivamente $ y_1 $ e $ y_2 $.

Pertanto, concludo che lo spazio $ Y $ è di Hausdorff.

Ho dimostrato che se $ f : X \to Y $ è un omeomorfismo e $ X $ è di Hausdorff, allora anche $ Y $ è di Hausdorff.

E così via.