Teorema della composizione di funzioni continue

Se due funzioni $ f: X \to Y $ e $ g: Y \to Z $ sono continue, allora anche la loro composizione $ g \circ f: X \to Z $ è continua.

Questo teorema dice che se ho due funzioni continue, $ f $ e $ g $, dove:

$ f: X \to Y $
$ g: Y \to Z $

allora la funzione composta, che combina $ f $ e $ g $, cioè $ g \circ f $, sarà anche continua.

In altre parole, se prima applico $ f $ e poi applico $ g $, questa nuova funzione sarà continua.

Un esempio pratico
Dimostrazione

Un esempio pratico

Considero la composizione delle funzioni $ g \circ f(x) $ dove $ f $ è la funzione più interna mentre $ g $ è quella più esterna.

$$ f(x) = x^2 \ \ su \ \ \mathbb{R} $$

$$ g(y) = \frac{y}{2} \ \ su \ \ \mathbb{R} $$

Entrambe le funzioni sono continue in $ \mathbb{R} $.

Devo capire se anche la composizione delle funzioni $ g \circ f(x) $ è continua su tutto $ \mathbb{R} $.

Prendo come esempio l'intervallo aperto $ (-2, 2) \subset \mathbb{R} $

L'immagine dell'intervallo $ (-2, 2) $ sotto $ f $ è l'intervallo $ (0, 4) $

Il codominio della funzione interna $ f $ è il dominio della funzione esterna $ g $.

L'immagine dell'intervallo $ (0, 4) $ sotto $ g $ è l'intervallo $ (0, 2) $ che è un altro intervallo aperto.

Quindi, la preimmagine dell'insieme aperto $ (-2, 2) $ sotto la composizione $ g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} $ è l'insieme aperto $ (0, 2) $.

Poiché la preimmagine dell'insieme aperto è aperta, la composizione $ g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} $ soddisfa la condizione di continuità nell'intervallo $ (-2, 2) $.

Ripetendo lo stesso ragionamento per ogni insieme aperto in $ \mathbb{R} $, la preimmagine della composizione di funzioni $ g \circ f(x) $ è sempre un insieme aperto.

Questo vuol dire che la composizione di funzioni è continua.

Dimostrazione

Considero la composizione di due funzioni continue $ g \circ f(x) $

$ f: X \to Y $
$ g: Y \to Z $

Se prendo un insieme aperto $ U $ in $ Z $ (che è l'output finale di $ g $), la preimmagine di questo insieme sotto $ g \circ f $ (cioè $ (g \circ f)^{-1}(U) $) deve essere aperta in $ X $.

Ora la preimmagine di $ U $ sotto $ g $ è un insieme aperto in $ Y $ perché $ g $ è continua per ipotesi iniziale.

La preimmagine di questo insieme aperto sotto $ f $ è un insieme aperto in $ X $ perché anche $ f $ è continua per ipotesi iniziale.

Quindi, l'insieme $ (g \circ f)^{-1}(U) $ è aperto in $ X $.

Questo dimostra che $ g \circ f $ è continua perché, secondo la definizione di continuità, una funzione è continua se la preimmagine di ogni insieme aperto è, a sua volta, un insieme aperto.

E così via.