Lemma dell'incollaggio

Dato uno spazio topologico $ X $ e sottoinsiemi chiusi $ A $ e $ B $ di $ X $ tali che la loro unione copra l'intero spazio $ A \cup B = X $, se le funzioni $ f: A \rightarrow Y $ e $ g: B \rightarrow Y $ sono continue verso uno spazio topologico $ Y $ e si sovrappongono $ f(x) = g(x) $ per ogni punto della loro intersezione $ x \in A \cap B $, allora la seguente funzione $ h: X \rightarrow Y $ è continua $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in A, \\ g(x) & \text{se } x \in B, \end{cases} $$

In altre parole, in determinate condizioni due funzioni possono essere "incollate" insieme per creare un'altra funzione continua.

Date due funzioni continue $ f: A \to Y $ e $ g: B \to Y $ definite su due insiemi $ A $ e $ B $ che si sovrappongono e coincidono sulla loro intersezione, posso "incollarle" per ottenere una nuova funzione continua $ h $ definita sull'unione $ A \cup B $ dei due insiemi $ A $ e $ B $.

Questo lemma è conosciuto anche come pasting lemma.

Un esempio pratico
Dimostrazione

Un esempio pratico

Considero due funzioni definite su due intervalli differenti:

$ f: [0, 1] \to \mathbb{R} $, definita come $ f(x) = x $, che è continua su $ [0, 1] $,
$ g: [1, 2] \to \mathbb{R} $, definita come $ g(x) = 2 - x $, che è continua su $ [1, 2] $.

Verifico se sono soddisfatte le condizioni del lemma dell'incollaggio.

Insiemi chiusi: gli intervalli $ [0, 1] $ e $ [1, 2] $ sono insiemi chiusi in $ \mathbb{R} $.
Copertura dell'intervallo: l'unione degli intervalli $ A = [0, 1] $ e $ B = [1, 2] $ è l'intervallo $ [0, 2] $, quindi $ A \cup B = [0, 2] $.
Coincidenza al punto di sovrapposizione: $ A \cap B = \{1\} $. Verifico che $ f(1) = g(1) $:
- $ f(1) = 1 $,
- $ g(1) = 2 - 1 = 1 $.
Quindi $ f(1) = g(1) = 1 $, e la condizione di continuità al punto di giunzione è soddisfatta.

Tutte le condizioni del lemma sono soddisfatte.

Definisco la funzione $ h: [0, 2] \to \mathbb{R} $ come:

$$ h(x) = \begin{cases} f(x) = x & \text{se } x \in [0, 1], \\ g(x) = 2 - x & \text{se } x \in [1, 2]. \end{cases} $$

La funzione $ h $ è continua perché

$ h(x) $ coincide con $ f(x) $ su $ [0, 1] $, e so già che $ f(x) = x $ è continua su questo intervallo.
$ h(x) $ coincide con $ g(x) $ su $ [1, 2] $ e so già che $ g(x) = 2 - x $ è continua su questo intervallo.
Nel punto di sovrapposizione $ x = 1 $, ho già verificato che $ f(1) = g(1) = 1 $, quindi la funzione $ h(x) $ è continua anche in $ x = 1 $.

Poiché $ f $ e $ g $ sono continue sui loro rispettivi intervalli e coincidono nel punto di sovrapposizione, la funzione $ h(x) $ è continua su tutto l'intervallo $ [0, 2] $.

Complessivamente la funzione $ h(x) $ è composta da due pezzi:

Sul primo intervallo $ [0, 1] $, $ h(x) = x $, che è una retta crescente.
Sul secondo intervallo $ [1, 2] $, $ h(x) = 2 - x $, che è una retta decrescente.

Al punto $ x = 1 $, le due rette si incontrano e la funzione è continua.

Dimostrazione

Per dimostrare che $ h $ è continua, devo verificare che l'inverso di qualsiasi insieme chiuso in $ Y $ sia chiuso in $ X $, poiché la continuità si può definire tramite la preimmagine degli insiemi chiusi.

Formalmente, devo mostrare che se $ C \subseteq Y $ è un insieme chiuso in $ Y $, allora $ h^{-1}(C) $ è chiuso in $ X $.

Poiché $ h(x) $ è definita in modo diverso su $ A $ e $ B $, possiamo scrivere l'inverso di $ C $ come:

$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C). $$

Dove:

$ f^{-1}(C) $ è l'insieme di punti in $ A $ la cui immagine sotto $ f $ appartiene a $ C $.
$ g^{-1}(C) $ è l'insieme di punti in $ B $ la cui immagine sotto $ g $ appartiene a $ C $.

Poiché $ f $ è continua e $ C $ è chiuso in $ Y $, deduco che $ f^{-1}(C) $ è chiuso in $ A $.

Ma $ A $ è chiuso in $ X $, quindi $ f^{-1}(C) $, che è un sottoinsieme chiuso di $ A $, è chiuso anche in $ X $.

Analogamente, poiché $ g $ è continua e $ C $ è chiuso in $ Y $, anche $ g^{-1}(C) $ è chiuso in $ B $. Poiché $ B $ è chiuso in $ X $, anche $ g^{-1}(C) $ è chiuso in $ X $.

Ora, $ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C) $ è l'unione di due insiemi chiusi in $ X $ poiché ho dimostrato che entrambi $ f^{-1}(C) $ e $ g^{-1}(C) $ sono chiusi in $ X $.

L'unione di insiemi chiusi è chiusa in uno spazio topologico, quindi $ h^{-1}(C) $ è chiuso in $ X $.

Quindi, posso concludere che la funzione $ h $ è continua su $ X $. Questo completa la dimostrazione del Lemma di Incollaggio.

E così via.