Intersezione tra il confine e l'interno di un insieme è vuota

L'intersezione tra il confine $ \partial A $ e l'interno $ \text{Int}(A) $ è vuota: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Questa affermazione riflette la relazione tra il bordo e l'interno di un insieme in un contesto topologico.

Un esempio numerico
Dimostrazione

Un esempio numerico

Considero lo spazio topologico $\mathbb{R}$ con la topologia standard dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti.

Prendo come esempio l'insieme $A = (0, 1)$, l'intervallo aperto tra 0 e 1.

L'interno di $A$ è l'insieme dei punti che hanno un intorno completamente contenuto in $A$. In questo caso, ogni punto in $A$ è un punto interno.

$$ Int(A) = A = (0, 1) $$

La chiusura di $A$ include tutti i punti di $A$ più i punti di accumulazione, che sono 0 e 1.

$$ Cl(A) = [0, 1] $$

Il complemento di $A$ rispetto a $\mathbb{R}$ è:

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

La chiusura del complemento di $A$ è

$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Poiché il complemento di $A$ è già un insieme chiuso, la sua chiusura è lo stesso insieme.

Il bordo di $A$ è costituito dai punti 0 e 1.

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

L'intersezione tra il bordo e l'interno di $A$ è vuota.

$$ \partial A \cap Int(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

Come si può vedere, non ci sono punti comuni tra il bordo di $A$ ($\partial A = \{0, 1\}$) e l'interno di $A$ ($Int(A) = (0, 1)$).

Questo esempio numerico conferma che l'intersezione tra il bordo di un insieme $A$ e l'interno di $A$ è sempre vuota:

$$ \partial A \cap Int(A) = \emptyset $$

Dimostrazione

Questa proprietà può essere dimostrata utilizzando le definizioni degli insiemi topologici.

Per definizione il bordo di un insieme $A$ è:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$

Il bordo di $A$ ($\partial A$) contiene quei punti che sono nei confini di $A$, ma non sono completamente interni a $A$.

Per definizione l'interno $ Int(A) $ dell'insieme $A$ è l'insieme di tutti i punti di $A$ che hanno un intorno contenuto completamente in $A$. L'interno di $A$ contiene quei punti che sono completamente contenuti in $A$, ovvero c'è un intorno attorno a ciascun punto di $Int(A)$ che è completamente contenuto in $A$.

Considero un punto $x \in \partial A$

Per definizione, $x$ deve essere tale che:

$x \in Cl(A)$, quindi $x$ è un punto di accumulazione di $A$ o un punto di $A$.
$x \in Cl(X - A)$, quindi $x$ è un punto di accumulazione di $X - A$ o un punto di $X - A$.

Dato che $x \in Cl(A)$ e $x \in Cl(X - A)$, ogni intorno di $x$ intersecherà sia $A$ che $X - A$.

Pertanto, $x$ non può essere un punto che è completamente contenuto in $A$ ovvero non può essere un punto di $Int(A)$.

Ora considero un punto $y \in Int(A)$.

Per definizione, esiste un intorno di $y$ completamente contenuto in $A$.

Questo significa che $y$ non può essere un punto di accumulazione di $X - A$ e quindi non può essere in $Cl(X - A)$).

Pertanto, $y$ non può essere un punto di $\partial A$.

Da queste osservazioni, posso concludere che non ci sono punti comuni tra $\partial A$ e $Int(A)$, cioè la loro intersezione è un insieme vuoto.

$$ \partial A \cap Int(A) = \emptyset $$

E così via.