Il confine vuoto e gli insiemi clopen
Il confine \(\partial A\) di un insieme \(A\) è vuoto se e solo se \(A\) è sia aperto che chiuso (clopen). $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ è clopen} $$
Questo significa che \(A\) non ha punti di frontiera, ossia punti che appartengono sia alla chiusura di \(A\) che alla chiusura del suo complemento.
Un esempio pratico
Esempio 1
Prendo come esempio l'insieme \( A = \emptyset \) nello spazio topologico \(\mathbb{R}\) con la topologia standard.
Controllo se il confine \(\partial A = \emptyset\) è vuoto.
La chiusura di \(A = \emptyset\) è
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
Il complemento di \(A\) è \(A^c = \mathbb{R}\).
La chiusura del complemento è \( \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R}\), poiché \(\mathbb{R}\) è già chiuso.
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
Quindi, il confine di \(A\) è:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
In questo caso, il confine è vuoto (\(\partial A = \emptyset\)), quindi \(A\) è clopen.
In effetti, \(A = \emptyset\) è aperto per definizione nella topologia standard ed è anche chiuso perché contiene tutti i suoi punti di accumulazione, essendo vuoto.
Esempio 2
Prendo come esempio l'insieme \( A = \mathbb{R} \) nello spazio topologico \(\mathbb{R}\) con la topologia standard.
Controllo se il confine \(\partial A = \emptyset\) è vuoto.
La chiusura di \(A = \mathbb{R}\) è
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
Il complemento di \(A\) è \(A^c = \emptyset\).
La chiusura del complemento è
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Quindi, il confine di \(A\) è:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
In questo caso, il confine è vuoto (\(\partial A = \emptyset\)), quindi \(A\) è clopen.
In effetti, \(A = \mathbb{R}\) è aperto per definizione nella topologia standard ed è chiuso poiché contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Esempio 3
Prendo come esempio l'insieme $ A = [0,1) $ nello spazio topologico \(\mathbb{R}\) con la topologia standard.one, essendo vuoto).
Controllo se il confine \(\partial A = \emptyset\) è vuoto.
La chiusura di \(A = [0,1)\) è \(\text{Cl}(A) = [0,1]\).
Il complemento di \(A\) è \(A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)\).
La chiusura del complemento è \(\text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty)\).
Quindi, il confine di \(A\) è:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$
In questo caso, il confine non è vuoto (\(\partial A = \{0, 1\} \neq \emptyset\)), quindi \(A\) non è clopen.
In effetti, \(A = [0,1)\) è aperto ma non chiuso.
Questi esempi illustrano chiaramente il teorema: un insieme \(A\) in uno spazio topologico ha confine vuoto se e solo se è sia aperto che chiuso (clopen).
La dimostrazione
Prima di iniziare ricordo che per definizione il confine \( \partial A \) di un insieme \(A\) è l'intersezione tra la chiusura di \(A\) e la chiusura del suo complemento \(A^c\)
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Per dimostrare che il confine \(\partial A\) è vuoto se e solo se \(A\) è sia aperto che chiuso (clopen), procedo con la dimostrazione nei due sensi.
1] Se il confine è vuoto allora l'insieme A è sia aperto che chiuso (clopen)
Se \(\partial A = \emptyset\), allora l'intersezione tra la chiusura di \( A \) e la chiusura del suo complemento \( A^c \) è vuota
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Questo implica che non ci sono punti che appartengono sia alla chiusura di \(A\) che alla chiusura del complemento di \(A\).
L'insieme A è chiuso?
Un insieme \(A\) è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione, cioè se \( A = \text{Cl}(A) \).
Ora, poiché \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \), ogni punto di \( \text{Cl}(A) \) non può essere in \( \text{Cl}(A^c) \).
Questo implica che ogni punto di \( \text{Cl}(A) \) si trovi in \( (A^c)^c \)
$$ \text{Cl}(A) \subseteq (A^c)^c $$
Sapendo che \((A^c)^c = A\)
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A $$
Poiché \( \text{Cl}(A) \subseteq A\) e per definizione \( \text{Cl}(A) \) contiene \(A\), ne deduco che \( \text{Cl}(A) = A\).
Questo dimostra che \(A\) è chiuso.
L'insieme A è aperto?
Sapendo che l'intersezione tra la chiusura di \( A \) e la chiusura del complemento di \( A \) è vuota
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Da questa deduco che la chiusura di \( A \) si trova nel complemento di \( A \)
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq (A)^c = A^c\ $$
Questo implica che \(A^c\) è chiuso, poiché contiene la sua chiusura.
Se \(A^c\) è un insieme chiuso, allora il suo complemento \((A^c)^c = A \) è aperto.
Pertanto, l'insieme \( A ) è aperto.
L'insieme A è sia aperto che chiuso
In conclusione, l'insieme \( A \) è chiuso e aperto, ovvero è un insieme clopen.
2] Se l'insieme A è sia aperto che chiuso (clopen) allora il confine di A è vuoto
In questo caso considero l'insieme \(A\) sia aperto che chiuso come ipotesi iniziale.
Poiché \(A\) è chiuso, allora contiene tutti i suoi punti di accumulazione
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Poiché \(A\) è aperto, ogni punto di \(A\) è un punto interno di \(A\).
$$ A = \text{Int}(A) $$
Sapendo che \(A\) è aperto, allora deduco che il suo complemento \(A^c\) è chiuso, e quindi contiene tutti i suoi punti di accumulazione:
$$ A^c = \text{Cl}(A^c) $$
Per definizione il confine di un insieme \(A\) è l'intersezione tra la chiusura dell'insieme \( A \) e la chiusura del suo complemento \( A^c \)
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Sostituisco $ A = \text{Cl}(A) $ e $ A^c = \text{Cl}(A^c) $
$$ \partial A = A \cap A^c $$
L'intersezione $ A \cap A^c $ tra un insieme e il suo complemento è sempre un insieme vuoto.
$$ \partial A = \emptyset $$
Dunque, se \(A\) è clopen, il suo confine \(\partial A\) è vuoto.
3] Conclusione
Ho così dimostrato che $ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ è clopen} $
E così via.
