Il confine di A=(-1,1] nella topologia del limite inferiore

In questo esercizio devo trovare il confine $A = (-1, 1]$ nella topologia del limite inferiore in $ \mathbb{R} $.

Nella topologia del limite inferiore, gli insiemi aperti sono della forma $[a, b)$ con a<b.

Il confine di $A$ è dato dalla differenza tra la chiusura di $A$ e l'interno di $A$. Formalmente,

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

L'interno di $A = (-1, 1]$ nella topologia del limite inferiore è il più grande insieme aperto contenuto in $A$.

Per trovare l'interno, osservo che tutti gli intervalli $[a, b)$ per $ -1 < a < b \leq 1$ sono contenuti in $(-1, 1]$.

Tuttavia, non posso includere l'estremo destro $1$ in un insieme della forma $[a, b)$.

Quindi l'interno di $A$ è $(-1, 1)$.

$$ \text{Int}(A) = (-1,1) $$

La chiusura di $A = (-1, 1]$ è il più piccolo insieme chiuso che contiene $A$.

Un insieme chiuso nella topologia del limite inferiore è il complementare di un insieme aperto della forma $[a, b)$.

L'insieme $(-1, 1]$ è già chiuso in questa topologia perché contiene tutti i suoi punti di accumulazione e nessun insieme aperto della forma $[a, b)$ può avere come complemento un insieme che esclude punti di $(-1, 1]$.

Quindi la chiusura di $A$ è $(-1, 1]$.

$$ \text{Cl}(A) =(-1,1] $$

Una volta noto l'interno $ \text{Int}(A) = (-1,1) $ e la chiusura $ \text{Cl}(A) =(-1,1] $ posso calcolare il confine di $ A $

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

$$ \partial A = (-1,1] - (-1,1) $$

$$ \partial A = \{1\} $$

Pertanto, il confine dell'insieme $A = (-1, 1]$ nella topologia del limite inferiore su $\mathbb{R}$ è $\{1\}$.

E così via.