Il confine dell'intervallo [-1,1] nella topologia discreta
In questo esercizio considero l'insieme \( A = [-1, 1] \) all'interno dell'insieme dei numeri reali \( \mathbb{R} \).
Devo trovare il confine $ \partial A $ dell'insieme $ A $
Il confine di \( A \) è l'insieme dei punti che stanno nella chiusura di \( A \) ma non nel suo interno.
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$
La topologia discreta su un insieme è una struttura dove tutti i sottoinsiemi sono considerati aperti.
In questa topologia, ogni sottoinsieme di $ A $ è aperto. Ciò significa che qualsiasi insieme, compreso \( A \), è aperto per definizione.
L'interno di \( A \) è l'insieme dei punti che appartengono a \( A \) e che sono "circondati" da \( A \).
Quindi, nella topologia discreta, l'interno di \( A \) è \( A \) stesso.
$$ \text{Int}(A) = [-1, 1] $$
Spiegazione. L'interno di un insieme A è definito come l'insieme dei punti di A che sono contenuti in un intorno aperto interamente contenuto in A. Nella topologia discreta, ogni punto di A è un punto interno, perché posso sempre trovare un intorno (in questo caso, il punto stesso) che è contenuto in A. Quindi, Int(A)=A.
La chiusura di \( A \) è l'insieme di \( A \) stesso unito con i suoi punti di accumulazione.
Nella topologia discreta, la chiusura di \( A \) è ancora \( A \)
$$ \text{Cl}(A) = [-1, 1] $$
Spiegazione. La chiusura di un insieme A è l'insieme di tutti i punti di A più tutti i suoi punti di accumulazione. Nella topologia discreta, non ci sono punti di accumulazione perché ogni punto è isolato. Quindi, la chiusura di A è semplicemente A stesso, Cl(A)=A.
Poiché \( \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) \), non ci sono punti che stanno nella chiusura di \( A \) e non nel suo interno. Quindi, il bordo \( ∂A \) è vuoto (\( \varnothing \)).
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$
$$ \partial A = \emptyset $$
Soluzione alternativa
La chiusura di $ A $ è uguale all'interno di $ A $
$$ \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$
Quindi, l'insieme \([-1, 1]\) è sia aperto che chiuso nella topologia discreta.
Spiegazione. Nella topologia discreta, ogni sottoinsieme è considerato aperto. Questo significa che qualsiasi insieme, incluso A, è aperto per definizione. Inoltre, ogni insieme aperto è anche chiuso. Questo è perché il complemento di un insieme aperto è chiuso e viceversa. Ddato che ogni sottoinsieme di [-1,1] è aperto, anche il suo complemento è aperto, quindi ogni insieme è anche chiuso.
Secondo una proprietà del confine, un insieme che è sia aperto che chiuso ha un bordo vuoto.
$$ \partial A = \emptyset $$
E così via.
