Il confine dell'intervallo [-1,1] nella topologia del limite inferiore

In questo esercizio ho un intervallo chiuso $ A = [-1, 1] $ da -1 a 1 nella topologia del limite inferiore, devo trovare il confine.

La retta reale $\mathbb{R}_l$ nella topologia del limite inferiore è diversa dalla topologia standard.

In questa topologia, gli insiemi aperti sono della forma $[a, b)$, cioè includono l'estremo inferiore (punto a) ma non l'estremo superiore (punto b).

Il confine di $A$ è l'insieme dei punti che appartengono alla chiusura di $A$ ma non all'interno di $A$.

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

La chiusura di $A$ è l'insieme di tutti i punti di $A$ più i punti di accumulazione di $A$.

Con la topologia del limite inferiore, la chiusura di $[-1, 1]$ rimane $[-1, 1]$ ovvero $\text{Cl}(A) = [-1, 1]$.

$$ \partial A = [-1,1] - \text{Int}(A) $$

L'interno di $A$ è l'insieme di tutti i punti di $A$ che hanno un intorno completamente contenuto in $A$.

Con la topologia del limite inferiore, l'interno di $[-1, 1]$ è $[-1, 1)$, ovvero $\text{Int}(A) = [-1, 1)$ perché qualsiasi intervallo aperto di $ A $ con limite superiore inclusivo che parta da -1 o da un punto maggiore di -1 sarà contenuto in $[-1, 1]$, ma non posso includere 1 perché non c'è un intervallo aperto che termina esattamente in 1 che rispetti la topologia del limite inferiore.

$$ \partial A = [-1,1] - [-1,1) $$

In questo caso, $\partial A = \{ 1\}$, poiché 1 è l'unico punto che non è contenuto nell'interno di $A$ ma è nella chiusura di $A$.

$$ \partial A = \{ 1 \} $$

E così via.