Il confine dell'insieme A={c} in X={a,b,c} nella topologia {X, Ø , {a}, {a,b}}
Per determinare il confine (∂A) dell'insieme \( A = \{c\} \) in \( X = \{a, b, c\} \) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\), devo trovare la chiusura (\(\text{Cl}(A)\)) e l'interno (\(\text{Int}(A)\)) di \(A\), quindi calcolare il confine come differenza tra la chiusura e l'interno.
Nella topologia data, gli insiemi chiusi sono i complementi degli insiemi aperti: \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\).
Gli insiemi chiusi sono quindi: \(\{X, \{c\}, \{b, c\}, \emptyset\}\).
L'insieme \( A = \{c\} \) è un insieme singoletto. La chiusura di \(A\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene \(A\).
In questo caso, l'insieme chiuso più piccolo che contiene \(\{c\}\) è \(\{c\}\) stesso.
$$ \text{Cl}(A) = \{c\} $$
L'interno di \(A\) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(A\).
Nella topologia data, gli insiemi aperti sono \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\).
Non c'è alcun insieme aperto che è contenuto in \(\{c\}\), poiché nessuno degli insiemi aperti dati contiene \(c\). Quindi, l'interno di $ A $ è l'insieme nullo.
$$ \text{Int}(A) = \emptyset $$
Ora, calcolo il confine di $ A $ come la differenza tra la chiusura e l'interno di \(A\):
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$
$$ \partial A = \{c\} - \emptyset $$
$$ \partial A = \{c\} $$
Quindi, il confine di \(A = \{c\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\) è $ \partial A = \{c\} $
Metodo alternativo
Utilizzo la definizione di confine come l'intersezione tra la chiusura di \(A\) e la chiusura del complemento di \(A\)
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
L'insieme chiuso più piccolo che contiene \(\{c\}\) è \(\{c\}\).
$$ \text{Cl}(A) = \{c\} $$
Il complemento di \(A\) è $ X - A = \{a, b\} $
La chiusura del complemento di \(A\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene \(\{a, b\}\).
In questa topologia gli insiemi chiusi sono \(\{X, \{c\}, \{b, c\}, \emptyset\}\).
L'insieme chiuso più piccolo che contiene \(\{a, b\}\) è \(X\) stesso, cioè \(\{a, b, c\}\).
$$ \text{Cl}(X - A) = \{a, b, c\} $$
Ora calcolo l'intersezione delle chiusure
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
$$ \partial A = \{c\} \cap \{a, b, c\} $$
L'intersezione di questi insiemi è \(\{c\}\).
$$ \partial A = \{c\} $$
Pertanto, il confine di \(A = \{c\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\) è $ \partial A = \{c\} $.
E così via.
