Il confine dell'insieme A={b,c} in X={a,b,c} nella topologia {X, Ø , {a}, {a,b}}

In questo esercizio devo determinare il confine (∂A) dell'insieme \(A = \{b, c\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\).

La topologia definisce come insiemi aperti i seguenti \(\{X, \{c\}, \{b, c\}, \emptyset\}\).

Gli insiemi chiusi sono i complementi di quelli aperti, quindi gli insiemi chiusi sono \(\{X, \{c\}, \{b, c\}, \emptyset\}\).

La chiusura di $ A $ è la differenza tra la chiusura e l'interno di \(A\):

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

Come primo passo provvedo a determinare la chiusura di $ A $

La chiusura di \(A = \{b, c\}\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene \(A\).

Poiché tra gli insiemi chiusi c'è anche \(\{b, c\}\) deduco che la chiusura di $ A $ è $ \{b, c\} $ stesso.

$$ \text{Cl}(A) = \{b, c\}  $$

Poi calcolo l'interno di $ A $.

L'interno di \(A\) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(A\).

Nella topologia data, gli insiemi aperti sono \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\).

Non c'è alcun insieme aperto che è contenuto in \(\{b, c\}\), poiché nessuno degli insiemi aperti dati contiene \(b\) e \(c\) senza includere \(a\).

Quindi, l'interno di $ A $ è l'insieme vuoto.

$$ \text{Int}(A) = \emptyset $$

A questo punto posso determinare il confine di $ A $ come differenza tra la chiusura e l'interno.

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

$$ \partial A = \{b, c\} - \emptyset $$

$$ \partial A= \{b, c\} $$

Pertanto, il confine di \(A = \{b, c\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\) è $\partial A = \{b, c\} $

Metodo alternativo

Posso determinare il confine (∂A) dell'insieme \(A = \{b, c\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\), anche usando la definizione:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

Conosco già la chiusura di $ A $ perché l'ho calcolata nell'esempio precedente

$$ \text{Cl}(A) = \{b, c\} $$

In questo caso, devo determinare la chiusura del complemento di \(A\) (\(\text{Cl}(X - A)\))

Il complemento di \(A\) è

$$ X - A = \{a\} $$

La chiusura del complemento di \(A\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene \(\{a\}\).

In questo spazio topologico gli insiemi chiusi sono \(\{X, \{c\}, \{b, c\}, \emptyset\}\).

Quindi, l'insieme chiuso più piccolo che contiene \(\{a\}\) è \(X\) stesso, cioè \(\{a, b, c\}\).

$$ \text{Cl}(X - A) = \{a, b, c\} $$

Infine, calcolo il confine di $ A $ come intersezione delle chiusure

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A)  $$

$$ \partial A = \{b, c\} \cap \{a, b, c\} $$

$$ \partial A = \{b, c\} $$

L'intersezione di questi insiemi è \(\{b, c\}\).

Pertanto, il confine di \(A = \{b, c\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\) è $ \partial A = \{b, c\} $.

E così via.