Il confine dell'insieme A={b} in X={a,b,c} nella topologia {X, Ø , {a}, {a,b}}

In questo esercizio devo determinare il confine (\(\partial A\)) dell'insieme \(A = \{b\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\)

In questa topologia gli insiemi aperti sono \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\)

Gli insiemi chiusi, invece, sono i loro complementi rispetto a $ X $ ossia \(\{X, \{b,c\}, \{c\}, \emptyset\}\)

Il confine di un insieme \(A\) è la differenza tra la sua chiusura e il suo interno.

$$ \partial A = Cl(A) - Int(A) $$

L'insieme \(A = \{b\}\) è un insieme singoletto.

La chiusura di \(A\) è l'insieme chiuso più piccolo che contiene \(A\).

Nella topologia data, gli insiemi chiusi sono \(\{X, \{c\}, \{b, c\}, \emptyset\}\).

Quindi, l'insieme chiuso più piccolo che contiene \(\{b\}\) è \( \{b, c\} \).

$$ Cl(A) = \{b, c\} $$

L'interno di \(A\) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(A = \{ b \} \).

Nella topologia data, gli insiemi aperti sono \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\).

Nessun insieme aperto contenuto in \(A = \{b\}\), quindi l'interno di \(\{b\}\) è l'insieme vuoto.

$$ Int(A) = \emptyset $$

Ora, posso calcolare la differenza tra la chiusura e l'interno di \(A\):

$$  \partial A = Cl(A) - Int(A) $$

$$ \partial A  = \{b, c\} - \emptyset $$

$$ \partial A = \{b, c\} $$

Pertanto, il confine di \(A = \{b\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}\) è $ \partial A = \{b, c\} $

Metodo alternativo

Il confine di un insieme è determinato anche dall'intersezione tra la chiusura dell'insieme stessi $ A $ e la chiusura del suo complemento $ X-A $

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

La chiusura di $ A = \{ b \} $ è

$$ Cl(A) = \{b, c\} $$

L'insieme complemento $ X-A $ è $ \{ a,c \} $

$$ X-A = \{ a,b,c \} - \{ b \} $$

$$ X-A = \{ a c \} $$

La chiusura di $ X-A \{ a,c \} $ è l'insieme chiuso più piccolo che contiene $ \{ a,c \} $

In questa topologia gli insiemi chiusi sono \(\{X, \{b,c\}, \{c\}, \emptyset\}\)

Quindi, l'insieme chiuso più piccolo che contiene $ \{ a,c \} $ è l'insieme $ X = \{a,b,c\} $

$$ Cl(X-A) = \{a, b, c\} $$

Ora posso calcolare il confine come l'intersezione delle due chiusure

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

$$ \partial A =  \{b, c\} \cap \{a, b, c\} $$

$$ \partial A =  \{b, c\}  $$

Il risultato finale è lo stesso.

E così via.