Il confine dell'insieme A={a,c} in X={a,b,c} nella topologia {X, Ø , {a}, {a,b}}

In questo esercizio devo determinare il confine ($\partial A$) dell'insieme $A = \{a, c\}$ in $X = \{a, b, c\}$ con la topologia $\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}$:

In questa topologia:

gli insiemi aperti sono $\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}$
gli insiemi chiusi sono i complementi degli insiemi aperti $\{X, \{b, c\}, \{c\}, \emptyset\}$.

Il confine di $A$ è la differenza tra la chiusura e l'interno dell'insieme $ A $

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

La chiusura di $A$ è l'insieme più piccolo chiuso che contiene $A = \{a,c \} $.

In questo caso l'insieme chiuso più piccolo che contiene $\{a, c\}$ è $X$, cioè $\{a, b, c\}$.

$$ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $$

L'interno di $A$ è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in $A$.

Nella topologia data, gli insiemi aperti sono $\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}$.

L'unico insieme aperto contenuto in $\{a, c\}$ è $\{a\}$, quindi l'interno di $ A $ è:

$$ \text{Int}(A) = \{a\} $$

Ora, calcolo la differenza tra la chiusura e l'interno di $A$:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$

$$ \partial A = \{a, b, c\} - \{a\} $$

$$ \partial A = \{b, c\} $$

Quindi, il confine di $A = \{a, c\}$ in $X = \{a, b, c\}$ con la topologia $\{X, \{a\}, \{a, b\}, \emptyset\}$ è $
\partial A = \{b, c\} $.

Soluzione alternativa

Il confine di $ A = \{a,c\} $ è determinato dall'intersezione tra la chiusura di $ A $ e la chiusura del complemento $ X-A $ di $ A $

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

So già che la chiusura di $ A $ è $ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $

$$ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $$

Il complemento di $ A $ è

$ X - A = \{ a,b,c \} - \{a,c\} $

$ X - A = \{ b \}$$

La chiusura del complemento è l'insieme chiuso più piccolo che contiene $ \{ b \} $ ossia $ \{ b,c \} $

$$ \text{Cl}(X - A) = \{ b,c \} $$

Pertanto, il confine di $ A $ è il seguente:

$$ \partial A = \{a, b, c\} \cap \{ b,c \} $$

$$ \partial A = \{b, c\} $$

E così via.