Il confine dell'insieme A={a} nella topologia {X,{a},{a,b},Ø}
In questo esercizio devo determinare il bordo (∂A) dell'insieme \( A = \{a\} \) in \( X = \{a, b, c\} \) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\)
In questa topologia sono definiti "insiemi aperti" gli insiemi: $ \{a, b, c\} , \{ a \}, \{a, b\}, \emptyset $
Gli insiemi chiusi, invece, sono i complementi degli insiemi aperti: \(\{X, \emptyset, \{b,c\}, \{c\}\}\).
Il bordo (o confine) è l'intersezione tra la chiusura di $ A $ e la chiusura del complemento di $ A $.
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A) $$
L'insieme \( A = \{a\} \) è un insieme singoletto. La chiusura di \(A\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene \(A\).
L'insieme chiuso più piccolo che contiene \(\{a\}\) è \(X\), cioè \(\{a, b, c\}\).
$$ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $$
Ora devo determinare la chiusura del complemento di \(A\)
Il complemento di \(A = \{a\} \) è:
$$ A^c = \{b, c\} $$
La chiusura di \(A^c\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene \(\{b, c\}\).
Sapendo che gli insiemi chiusi in questa topologia sono \(\{X, \{c\}, \{b, c\}, \emptyset\}\), deduco che l'insieme chiuso più piccolo che contiene \(\{b, c\}\) è sempre \(\{b, c\}\).
$$ \text{Cl}(A^c) = \{b, c\} $$
A questo punto posso calcolare l'intersezione delle chiusure sapendo che $ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $ e $ \text{Cl}(A^c) = \{b, c\} $
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A) $$
$$ \partial A = \{a, b, c\} \cap \{b, c\} $$
$$ \partial A = \{b, c\} $$
L'intersezione di questi insiemi è \(\{b, c\}\).
Quindi, il bordo di \(A = \{a\}\) in \( X = \{a, b, c\} \) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\) è $
\partial A = \{b, c\} $
Procedimento alternativo
Posso risolvere il problema anche considerando il confine di \(A\) come la differenza tra la chiusura e l'interno di \(A\),
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{int}(A) $$
In questo caso conosco già la chiusura di $ A $, quindi evito di ricalcolarla.
$$ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $$
Devo determinare l'interno di \(A\) ovvero (\(\text{int}(A)\))
L'interno di \(A\) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(A\).
Nella topologia data, gli insiemi aperti sono \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\). Quindi, l'unico insieme aperto contenuto in \(\{a\}\) è \(\{a\}\) stesso.
$$ \text{int}(A) = \{a\} $$
A questo punto, noti $ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} $ e $ \text{Int}(A) = \{ a \} $, calcolo il confine di $ A $ come differenza tra la chiusura e l'interno.
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{int}(A) $$
$$ \partial A = \{a, b, c\} - \{a\} $$
$$ \partial A = \{ b, c\} $$
Il confine di \(A = \{a\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\) è $ \partial A = \{b, c\} $.
E così via.
