Il confine dell'insieme A=(0,1)U{2} nella topologia standard
In questo esercizio devo determinare il confine (∂A) dell'insieme \( A = (0, 1) \cup \{2\} \) nella topologia standard su \(\mathbb{R}\).
Il confine di un insieme è la differenza tra la chiusura e l'interno dell'insieme stesso.
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{int}(A) $$
La chiusura di \(A\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene \(A\).
Nella topologia standard su \(\mathbb{R}\), la chiusura di \((0, 1)\) è \([0, 1]\). Aggiungendo il singoletto \(\{2\}\), la chiusura di \(A\) sarà \([0, 1] \cup \{2\}\).
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] \cup \{2\} $$
L'interno di \(A\) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(A\).
Nella topologia standard su \(\mathbb{R}\), l'insieme \((0, 1)\) è già un insieme aperto. Tuttavia, \(\{2\}\) non contiene alcun aperto perché è un singoletto.
Quindi: l'interno di $ A $ è
$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$
A questo punto, una volta nota la chiusura e l'interno di $ A $ posso calcolare il confine $ \partial A $
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{int}(A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cup \{2\} - (0,1) $$
$$ \partial A = \{0, 1, 2\} $$
In conclusione, il confine di $ A $ è l'insieme composto dai tre elementi $ \partial A = \{0, 1, 2\} $.
Metodo alternativo
Posso calcolare il confine di $ A $ anche come intersezione tra la chiusura di $ A $ e la chiusura del suo complemento $ \mathbb{R}-A $.
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
So già che la chiusura dell'insieme $ A $ in questa topologia è
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] \cup \{2\} $$
Il complemento di \(A\) è:
$$ \mathbb{R} - A = \mathbb{R} - ((0, 1) \cup \{2\}) $$
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, 2) \cup (2, \infty) $$
La chiusura del complemento di \(A\) è l'insieme più piccolo chiuso che contiene il complemento.
- La chiusura di \((-\infty, 0]\) è \((-\infty, 0]\).
- La chiusura di \([1, 2)\) è \([1, 2]\).
- La chiusura di \((2, \infty)\) è \((2, \infty)\).
Quindi la chiusura del complemento di $ A $ è
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 0] \cup [1, 2] \cup (2, \infty) $$
A questo punto trovo l'intersezione delle chiusure
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = ([0, 1] \cup \{2\}) \cap ((-\infty, 0] \cup [1, 2] \cup (2, \infty)) $$
L'intersezione di \([0, 1]\) con \((-\infty, 0]\) è \(\{0\}\). - L'intersezione di \([0, 1]\) con \([1, 2]\) è \(\{1\}\). L'intersezione di \(\{2\}\) con \([1, 2]\) è \(\{2\}\).
Quindi, il confine di $ A $ nella topologia standard su \(\mathbb{R}\) è
$$ \partial A = \{0, 1, 2\} $$
E così via.
