Il confine dell'insieme A=(0,1)U{2} nella topologia del limite inferiore
Per determinare il confine (\(\partial A\)) dell'insieme \( A = (0,1) \cup \{2\} \) nella topologia del limite inferiore su \(\mathbb{R}\), devo trovare la chiusura \(\text{Cl}(A)\) e l'interno \(\text{Int}(A)\) di \(A\), quindi calcolare il confine come differenza tra la chiusura e l'interno:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$
Nella topologia del limite inferiore, la base degli insiemi aperti è costituita da intervalli della forma \([a, b)\) dove \(a < b\).
L'insieme \( A = (0,1) \cup \{2\} \) include tutti i punti tra 0 e 1 (escluso 0 e 1) e il punto 2.
Per trovare la chiusura di \(A\), devo includere tutti i punti di \(A\) e i punti limite di \(A\).
Nella topologia del limite inferiore la chiusura di \((0,1)\) è \([0,1]\) mentre il punto \{2\} è già chiuso.
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] \cup \{2\} $$
L'interno di \(A\) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(A\).
Nella topologia del limite inferiore, \((0,1)\) non è un insieme aperto.
Gli insiemi aperti che possono essere contenuti in \((0,1)\) sono della forma \([a,b)\) con \(0 < a < b \leq 1\).
L'insieme \(\{2\}\) non ha un intervallo della forma \([2, b)\) contenuto in \(A\), quindi non ha un interno aperto.
Dunque l'interno di \(A\) è l'unione di tutti gli intervalli \([a, b)\) che sono contenuti in \((0,1)\):
$$ \text{Int}(A) = \bigcup_{0 < a < b < 1} [a, b) $$
$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$
Ora, calcolo la differenza tra la chiusura e l'interno di \(A\):
$$ \partial A = \text{Cl}(A) - \text{Int}(A) $$
$$ \partial A = ([0,1] \cup \{2\}) - (0,1) $$
Questo significa che dobbiamo togliere i punti che sono nell'interno dall'insieme chiuso:
$$ \partial A = \{0 , 1 \} \cup \{2\} $$
Il confine di \( A = (0,1) \cup \{2\} \) nella topologia del limite inferiore su \(\mathbb{R}\) è $ \partial A = \{0, 1, 2\} $
Metodo alternativo
Posso calcolare il confine (\(\partial A\)) dell'insieme \(A = (0,1) \cup \{2\}\) nella topologia del limite inferiore su \(\mathbb{R}\), anche utilizzando la definizione di confine come intersezione tra la chiusura di \(A\) e la chiusura del complemento di \(A\):
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
So già che la chiusura di $ A $ è
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] \cup \{2\} $$
Il complemento di \(A\) è:
$$ X - A = \mathbb{R} - ((0,1) \cup \{2\}) $$
$$ X - A = (-\infty, 0] \cup [1,2) \cup (2, \infty) $$
Per trovare la chiusura di questo insieme nella topologia del limite inferiore, consideriamo i limiti:
- \((-\infty, 0]\) è già chiuso.
- \([1, 2)\) è aperto in questa topologia perché contiene tutti i punti fino a ma non incluso 2. La sua chiusura è $ [1,2] $.
- \((2, \infty)\) è chiuso in questa topologia
Quindi:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 0] \cup [1, 2] \cup (2, \infty) $$
A questo punto trovo l'intersezione delle chiusure
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
$$ \partial A = \left( [0,1) \cup \{2\} \right) \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, 2] \cup (2, \infty) \right) $$
L'intersezione di questi insiemi è:
$$ \partial A = \{0 , 1, 2 \} $$
Quindi, nella topologia del limite inferiore su \(\mathbb{R}\) il confine di \( A = (0,1) \cup \{2\} \) è $ \partial A = \{0, 1, 2\} $
E così via.
