Il confine dei numeri razionali

Considero l'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ nella topologia standard su $\mathbb{R}$, che è la topologia della retta reale.

In questo esercizio devo trovare il confine dei numeri razionali.

La frontiera di $\mathbb{Q}$, indicata come $\partial \mathbb{Q}$, è l'insieme dei punti che si trovano sia nella chiusura di $\mathbb{Q}$ sia nella chiusura del complemento di $\mathbb{Q}$.

$$ \partial \mathbb{Q} = \text{Cl}(\mathbb{Q}) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - \mathbb{Q}) $$

Il complemento $ \mathbb{R} - \mathbb{Q} $ dei numeri razionali è l'insieme dei numeri irrazionali $ \mathbb{I} $

$$ \partial \mathbb{Q} = \text{Cl}(\mathbb{Q}) \cap \text{Cl}(\mathbb{I} ) $$

La chisura dei numeri razionali è l'insieme dei numeri reali $\text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R}$

$$ \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} \cap \text{Cl}(\mathbb{I} ) $$

La chiusura di $\mathbb{Q}$ è l'insieme di tutti i punti di $\mathbb{R}$ che sono limiti di successioni di punti in $\mathbb{Q}$. Poiché i numeri razionali sono densi nella retta reale, significa che ogni numero reale può essere approssimato arbitrariamente bene da numeri razionali. Pertanto, la chiusura di $\mathbb{Q}$ è l'intera retta reale: $$ \text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

Per la stessa ragione anche la chiusura dell'insieme dei numeri irrazionali $ \text{Cl}(\mathbb{I} ) = \mathbb{R} $ ha come chiusura l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.

$$ \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} $$

Quindi, la frontiera di $\mathbb{Q}$ è l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.

$$ \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} $$

In altre parole, ogni punto della retta reale è "al confine" tra l'insieme dei razionali e l'insieme dei suoi complementi (gli irrazionali).

Questo significa che ogni punto reale può essere approssimato sia da numeri razionali che irrazionali.

Soluzione alternativa

Il confine di un insieme è la differenza tra la chiusura dell'insieme e l'interno dell'insieme

$$ \partial \mathbb{Q} = \text{Cl}(\mathbb{Q} ) - \text{Int}(\mathbb{Q} ) $$

Nel caso dei numeri razionali la chiusura dell'insieme è l'insieme dei numeri reali $\text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R}$.

$$ \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} - \text{Int}(\mathbb{Q} ) $$

L'interno dei numeri razionali è l'insieme vuoto $\text{Int}(\mathbb{Q}) = \emptyset $.

$$ \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} - \emptyset $$

L'interno di $\mathbb{Q}$ è l'insieme di tutti i punti di $\mathbb{Q}$ che hanno un intorno completamente contenuto in $\mathbb{Q}$. Poiché $\mathbb{Q}$ è sparso nella retta reale e ogni intorno di un numero razionale contiene sia numeri razionali che irrazionali, non esiste un intorno completamente contenuto in $\mathbb{Q}$. Quindi, $\text{Int}(\mathbb{Q}) = \emptyset$ (insieme vuoto).

Quindi, il confine dei numeri razionali è l'insieme dei numeri reali.

$$ \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} $$

E così via.