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I confini di un insieme sono sempre un insieme chiuso

I confini di un insieme sono sempre un insieme chiuso, perché i confini sono l'intersezione tra la chiusura di A e la chiusura del complemento di A: A=Cl(A)Cl(XA)

Il bordo di un insieme A in uno spazio topologico X, denotato A, è definito come l'intersezione tra la chiusura di A e la chiusura del complemento di A: A=Cl(A)Cl(XA).

Poiché l'intersezione di insiemi chiusi è sempre un insieme chiuso, ne consegue che A è sempre un insieme chiuso.

Un esempio pratico

Considero lo spazio topologico R con la topologia standard (dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti).

Prendo come esempio l'insieme A=(0,1), l'intervallo aperto tra 0 e 1.

La chiusura di A, indicata Cl(A), è l'insieme [0,1], che include tutti i punti di A più i punti di accumulazione di A (in questo caso, 0 e 1).

Il complemento dell'insieme aperto A in R è l'insieme chiuso:

RA=(,0][1,)

La chiusura del complemento di A è

Cl(RA)=(,0][1,)

Poiché il complemento di A è già un insieme chiuso, la sua chiusura è lo stesso insieme.

Il bordo di A, indicato A, è l'intersezione tra Cl(A) e Cl(RA):

A=Cl(A)Cl(RA)

A=[0,1]((,0][1,))={0,1}

Quindi, in questo esempio numerico, il bordo di A è {0,1}, che è un insieme chiuso in R.

La dimostrazione

La dimostrazione si basa su alcune proprietà fondamentali degli insiemi chiusi e della topologia.

In un qualsiasi spazio topologico X, la chiusura di un insieme A, definita come ¯A o Cl(A), ed è un insieme chiuso.

Per definizione, Cl(A) è il più piccolo insieme chiuso che contiene A.

Il complemento di un insieme A in X è l'insieme XA. Se A è chiuso, allora XA è aperto, e viceversa.

Il bordo di un insieme A, indicato come A, è l'intersezione tra la chiusura di A e la chiusura del suo complemento.

A=Cl(A)Cl(XA)

In uno spazio topologico, l'intersezione di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso. Questa è una proprietà fondamentale degli insiemi chiusi.

Utilizzando queste proprietà, posso dimostrare che A è sempre un insieme chiuso:

  • Cl(A) è chiuso per definizione.
  • Cl(XA) è chiuso per definizione, dato che XA è un insieme aperto e la chiusura di un insieme aperto è un insieme chiuso.
  • L'intersezione di due insiemi chiusi, Cl(A)Cl(XA), è un insieme chiuso.

Quindi, A=Cl(A)Cl(XA) è sempre un insieme chiuso in qualsiasi spazio topologico.

E così via.

 


 

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