I confini di un insieme sono sempre un insieme chiuso
I confini di un insieme sono sempre un insieme chiuso, perché i confini sono l'intersezione tra la chiusura di A e la chiusura del complemento di A: ∂A=Cl(A)∩Cl(X−A)
Il bordo di un insieme A in uno spazio topologico X, denotato ∂A, è definito come l'intersezione tra la chiusura di A e la chiusura del complemento di A: ∂A=Cl(A)∩Cl(X−A).
Poiché l'intersezione di insiemi chiusi è sempre un insieme chiuso, ne consegue che ∂A è sempre un insieme chiuso.
Un esempio pratico
Considero lo spazio topologico R con la topologia standard (dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti).
Prendo come esempio l'insieme A=(0,1), l'intervallo aperto tra 0 e 1.
La chiusura di A, indicata Cl(A), è l'insieme [0,1], che include tutti i punti di A più i punti di accumulazione di A (in questo caso, 0 e 1).
Il complemento dell'insieme aperto A in R è l'insieme chiuso:
R−A=(−∞,0]∪[1,∞)
La chiusura del complemento di A è
Cl(R−A)=(−∞,0]∪[1,∞)
Poiché il complemento di A è già un insieme chiuso, la sua chiusura è lo stesso insieme.
Il bordo di A, indicato ∂A, è l'intersezione tra Cl(A) e Cl(R−A):
∂A=Cl(A)∩Cl(R−A)
∂A=[0,1]∩((−∞,0]∪[1,∞))={0,1}
Quindi, in questo esempio numerico, il bordo di A è {0,1}, che è un insieme chiuso in R.
La dimostrazione
La dimostrazione si basa su alcune proprietà fondamentali degli insiemi chiusi e della topologia.
In un qualsiasi spazio topologico X, la chiusura di un insieme A, definita come ¯A o Cl(A), ed è un insieme chiuso.
Per definizione, Cl(A) è il più piccolo insieme chiuso che contiene A.
Il complemento di un insieme A in X è l'insieme X−A. Se A è chiuso, allora X−A è aperto, e viceversa.
Il bordo di un insieme A, indicato come ∂A, è l'intersezione tra la chiusura di A e la chiusura del suo complemento.
∂A=Cl(A)∩Cl(X−A)
In uno spazio topologico, l'intersezione di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso. Questa è una proprietà fondamentale degli insiemi chiusi.
Utilizzando queste proprietà, posso dimostrare che ∂A è sempre un insieme chiuso:
- Cl(A) è chiuso per definizione.
- Cl(X−A) è chiuso per definizione, dato che X−A è un insieme aperto e la chiusura di un insieme aperto è un insieme chiuso.
- L'intersezione di due insiemi chiusi, Cl(A)∩Cl(X−A), è un insieme chiuso.
Quindi, ∂A=Cl(A)∩Cl(X−A) è sempre un insieme chiuso in qualsiasi spazio topologico.
E così via.