I confini di un insieme sono sempre un insieme chiuso
I confini di un insieme sono sempre un insieme chiuso, perché i confini sono l'intersezione tra la chiusura di \(A\) e la chiusura del complemento di \(A\): $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Il bordo di un insieme \(A\) in uno spazio topologico \(X\), denotato \(\partial A\), è definito come l'intersezione tra la chiusura di \(A\) e la chiusura del complemento di \(A\): \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)\).
Poiché l'intersezione di insiemi chiusi è sempre un insieme chiuso, ne consegue che \(\partial A\) è sempre un insieme chiuso.
Un esempio pratico
Considero lo spazio topologico \(\mathbb{R}\) con la topologia standard (dove gli insiemi aperti sono gli intervalli aperti).
Prendo come esempio l'insieme \(A = (0, 1)\), l'intervallo aperto tra 0 e 1.
La chiusura di \(A\), indicata \(Cl(A)\), è l'insieme \([0, 1]\), che include tutti i punti di \(A\) più i punti di accumulazione di \(A\) (in questo caso, 0 e 1).
Il complemento dell'insieme aperto \(A\) in \(\mathbb{R}\) è l'insieme chiuso:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
La chiusura del complemento di \(A\) è
$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Poiché il complemento di \(A\) è già un insieme chiuso, la sua chiusura è lo stesso insieme.
Il bordo di \(A\), indicato \(\partial A\), è l'intersezione tra \(Cl(A)\) e \(Cl(\mathbb{R} - A)\):
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) = \{0, 1\} $$
Quindi, in questo esempio numerico, il bordo di \(A\) è \(\{0, 1\}\), che è un insieme chiuso in \(\mathbb{R}\).
La dimostrazione
La dimostrazione si basa su alcune proprietà fondamentali degli insiemi chiusi e della topologia.
In un qualsiasi spazio topologico \(X\), la chiusura di un insieme \(A\), definita come \(\overline{A}\) o \(Cl(A)\), ed è un insieme chiuso.
Per definizione, \(Cl(A)\) è il più piccolo insieme chiuso che contiene \(A\).
Il complemento di un insieme \(A\) in \(X\) è l'insieme \(X - A\). Se \(A\) è chiuso, allora \(X - A\) è aperto, e viceversa.
Il bordo di un insieme \(A\), indicato come \(\partial A\), è l'intersezione tra la chiusura di \(A\) e la chiusura del suo complemento.
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
In uno spazio topologico, l'intersezione di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso. Questa è una proprietà fondamentale degli insiemi chiusi.
Utilizzando queste proprietà, posso dimostrare che \(\partial A\) è sempre un insieme chiuso:
- \(Cl(A)\) è chiuso per definizione.
- \(Cl(X - A)\) è chiuso per definizione, dato che \(X - A\) è un insieme aperto e la chiusura di un insieme aperto è un insieme chiuso.
- L'intersezione di due insiemi chiusi, \(Cl(A) \cap Cl(X - A)\), è un insieme chiuso.
Quindi, \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)\) è sempre un insieme chiuso in qualsiasi spazio topologico.
E così via.
