Esercizio sull'interno e la chiusura di un insieme in topologia 5

In questo esercizio devo trovare l'interno e la chiusura dell'insieme $A = (0,1) \cup \{2\}$ nella topologia standard su $\mathbb{R}$:

Interno

L'interno di un insieme è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti al suo interno.

Nel caso di $A$, l'unico intervallo aperto che può essere contenuto in $A$ è $(0,1)$.

Il punto $2$ è un punto isolato e non appartiene a nessun intervallo aperto contenuto in $A$.

Quindi, l'interno di $A$ è:

$$\text{Int}(A) = (0,1)$$

Chiusura

La chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme stesso e del suo insieme di punti di accumulazione.

I punti di accumulazione di $A$ sono quei punti che possono essere approssimati da punti di $A$.

L'insieme $(0,1)$ è già un insieme aperto e contiene tutti i suoi punti di accumulazione tra 0 e 1.

La chiusura di $A$ includerà anche i punti limite 0 e 1, poiché ogni intervallo che contiene 0 e 1 contiene anche punti di $A$.

Il punto $2$ è invece isolato e non ha punti di accumulazione, ma deve essere comunque incluso nella chiusura.

Quindi, la chiusura di $A$ è:

$$\text{Cl}(A) = [0,1] \cup \{2\}$$

Riassumendo:

L'interno di $A = (0,1) \cup \{2\}$ è $\text{Int}(A) = (0,1)$.

La chiusura di $A = (0,1) \cup \{2\}$ è $\text{Cl}(A) = [0,1] \cup \{2\}$.