Esercizio sull'interno e la chiusura di un insieme in topologia 5
In questo esercizio devo trovare l'interno e la chiusura dell'insieme \(A = (0,1) \cup \{2\}\) nella topologia standard su \(\mathbb{R}\):
Interno
L'interno di un insieme è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti al suo interno.
Nel caso di \(A\), l'unico intervallo aperto che può essere contenuto in \(A\) è \((0,1)\).
Il punto \(2\) è un punto isolato e non appartiene a nessun intervallo aperto contenuto in \(A\).
Quindi, l'interno di \(A\) è:
\[ \text{Int}(A) = (0,1) \]
Chiusura
La chiusura di un insieme è l'unione dell'insieme stesso e del suo insieme di punti di accumulazione.
I punti di accumulazione di \(A\) sono quei punti che possono essere approssimati da punti di \(A\).
L'insieme \((0,1)\) è già un insieme aperto e contiene tutti i suoi punti di accumulazione tra 0 e 1.
La chiusura di \(A\) includerà anche i punti limite 0 e 1, poiché ogni intervallo che contiene 0 e 1 contiene anche punti di \(A\).
Il punto \(2\) è invece isolato e non ha punti di accumulazione, ma deve essere comunque incluso nella chiusura.
Quindi, la chiusura di \(A\) è:
\[ \text{Cl}(A) = [0,1] \cup \{2\} \]
Riassumendo:
L'interno di \(A = (0,1) \cup \{2\}\) è \(\text{Int}(A) = (0,1)\).
La chiusura di \(A = (0,1) \cup \{2\}\) è \(\text{Cl}(A) = [0,1] \cup \{2\}\).
